蜗杆-斜齿轮传动是采用斜齿轮代替传统的蜗轮实现空间交错轴运动与动力传递的机构，蜗杆-斜齿轮传动具有大速比、自锁性、易于制造、成本低、润滑条件好等优点，广泛应用于小模数传动领域，如电动工具、汽车座椅和车窗调节、智能家居、服务机器人、医疗器械等，常用钢质蜗杆和塑料斜齿轮的配对啮合传动形式。塑料斜齿轮由于采用注塑成型的方式加工，可以大批量、高效率快速生产，产品一致性好，生产成本低;与塑料斜齿轮相啮合的钢质蜗杆常采用高速旋风铣加工。高效率、低成本的加工优势，使得蜗杆-斜齿轮传动的应用非常广泛。
在渐开线圆柱蜗杆和斜齿轮传动技术方面，国内外学者进行了一系列的相关研究，包括齿面修形设计、传动性能、摩擦特性和疲劳寿命等，研究相对成熟。
在斜齿轮和其他类型的蜗杆传动方面，Nomura M 等通过对不同类型的蜗杆与塑料斜齿轮的啮合研究，对接触疲劳寿命的进行了预测。赵超飞通过直廓环面蜗杆与斜齿轮的三维啮合仿真，确定了齿面的修形量，并进行了接触试验验证。任继华等采用不等距蜗杆与斜齿轮的啮合设计，提高金属蜗杆与塑料斜齿轮传动中塑料齿轮的承载能力。
本文基于蜗杆-斜齿轮传动的双参数包络啮合理论，以及齿面间的接触仿真分析方法，对常见的阿基米德蜗杆(ZA型)、法向直廓蜗杆(ZN型)与斜齿轮之间的接触干涉情况进行分析，为蜗杆-斜齿轮传动的齿面修形设计提供依据和参考。
1、蜗杆和斜齿轮啮合关系
为保证蜗杆-斜齿轮的连续稳定传动，蜗杆和斜齿轮啮合首先要满足啮合基本条件：(1)蜗杆法向模数和法向压力角与斜齿轮法向模数和法向压力角分别相等;(2)蜗杆导程角和斜齿轮螺旋角相等;(3)蜗杆和斜齿轮旋向相同。以上 3 个条件是齿面的几何参数设计的基本条件，满足这些条件并不能保证传动的连续进行。在传动过程中，蜗杆和斜齿轮还可能发生齿面接触干涉。为了分析蜗杆与斜齿轮之间的传动关系，首先需要建立空间啮合坐标系，作为蜗杆和斜齿轮的空间啮合运动模型。
双参数包络啮合方程
蜗杆-斜齿轮啮合的空间坐标系如图 1 所示。其中，坐标系S(O-xyz)和 Sp(Op—xpypzp )是两个空间固定的坐标系，z 轴与蜗杆 1 的回转轴线重合，zp 轴与齿轮的回转轴线重合，两轴线的夹角为∑，轴线之间的中心距为 a，坐标系 S1与蜗杆 1 固联，S2与斜齿轮 2 固联。图中，起始位置时，S1与 S 重合，S2与 Sp重合，斜齿轮 2 以角速度 ω2绕 z2轴旋转，以速度 v2沿 z2轴匀速运动，蜗杆 1 以角速度 ω1绕 z1轴旋转，以速度 v1沿 z 轴匀速运动。
在这个啮合模型中，共有 ω1，ω2，v1，v2四个参数，其中 ω1 和 ω2 保持一定的传动关系，当 v1和 v2都为 0 时，蜗杆和齿面之间处于线接触，相当于蜗杆和蜗轮的啮合。当 v1或者 v2其中至少一个不为 0 时，蜗杆和齿面之间为点接触，就是蜗杆和斜齿轮之间的啮合关系。
本文设蜗杆的移动速度 v1=0，齿轮的移动速度 v2≠ 0，在蜗杆和斜齿轮双自由度啮合过程中，啮合点在坐标系S中的相对运动速度为：
蜗杆和齿轮的传动关系满足：
式中：N1为蜗杆的头数;Σ 为轴交角;p2为斜齿轮的螺旋角;ω1和v2这两个参数之间相互独立。
在啮合点处满足啮合方程：
式中：n1 为蜗杆的齿面法向量在固定坐标系S中的表示。
建立双自由度啮合关系：
其中：
式中：m21为蜗杆和齿轮的传动比;n1x1，n1y1 和 n1z1为蜗杆的法矢量在相应坐标轴上的分量。
在输入一定的蜗杆转角ϕ1角时，斜齿轮按传动关系转过ϕ2角，由上述啮合方程可以得到齿面上的啮合点。
点接触斜齿轮的齿面计算
常见的渐开线蜗杆、 阿基米德蜗杆和法向直廓蜗杆都可以用成形车刀加工。图 2 所示为蜗杆的成形车削加工示意图，车刀的产形线绕 z 轴等速旋转并沿z轴等速移动形成的曲面称为等升距螺旋面。以右旋蜗杆和右旋斜齿轮为例，根据车刀相对于蜗杆的位置，可以形成3种不同类型的蜗杆：渐开线蜗杆 (ZI 型)、法向直廓蜗杆(ZN型)、阿基米德蜗杆(ZA型)。
渐开线蜗杆 (ZI型) 及其齿面方程：母线与一个半径为 rb的基圆柱相切，还和此圆柱面上螺旋线升角为 λp的螺旋线相切，形成渐开线蜗杆齿面，ZI蜗杆的产形线方程为：
式中：u为齿面参数。
渐开线蜗杆和斜齿轮啮合过程中，二者法向齿距相等，可得到λp的计算式为：
式中：mn为斜齿轮法向模数;rp为蜗杆节圆半径。
λp的计算同样适用于其他类型的蜗杆。
法向直廓蜗杆(ZN型)及其齿面方程：加工大导程的蜗杆时，为了保证良好的切削条件，使车刀的直线外形安放在齿或齿槽的法截面内，通过车刀相对于蜗杆的旋转运动形成法向直廓蜗杆齿面，ZN蜗杆的产形线方程为：
式中：u为齿面参数;α为车刀的产形角。
阿基米德蜗杆(ZA型)及其齿面方程：ZA蜗杆螺旋面的特点是蜗杆轴向是直线，车刀的切削刃安装在蜗杆的轴截面内，产形线在轴向截面中的方程可以写成：
式(7)、(9)和(10) 中，符号“∓”上下部分分别对应齿面1和齿面2。
与蜗杆共轭的斜齿轮的齿面方程：共轭斜齿轮的齿面展成过程，是产形线形成的螺旋面包络展成斜齿轮齿面的过程。将产形线的空间矢量方程统一表示为：
形成的螺旋面方程为：
式中：u, θ为参数;“±”分别对应右旋和左旋螺旋面;P1 为蜗杆刀具的螺旋参数。
P1可表示为：
以右旋蜗杆和右旋斜齿轮为例，与蜗杆螺旋面共轭的斜齿轮齿面方程为：
其中，转换矩阵M21统一表示为：
2、蜗杆斜齿轮齿面接触干涉分析
蜗杆和斜齿轮啮合时，除渐开线蜗杆外，其他类型的蜗杆都需要分析实际啮合过程中齿面是否有干涉现象，以及齿面各部位的干涉量，通过求解啮合齿面点在蜗杆齿面和斜齿轮齿面的轨迹，来分析齿面接触的干涉量。本文以轴交角为 90°的右旋蜗杆和右旋斜齿轮为例，具体的蜗杆和斜齿轮的基本参数如表1所示。
以蜗杆头数为 1、2、3 和 5 为例，当蜗杆头数改变时，斜齿轮和蜗杆齿面上的啮合线变化如图 3 所示。随着蜗杆头数的增加，齿轮齿面上的接触迹线倾斜度增加，蜗杆齿面的接触迹线变短，意味着重合度的减少。
为了对比不同蜗杆头数对齿面干涉量的变化情况，分别对节圆半径为 8 mm的 ZA型蜗杆，设置其头数为 1、2、3和5，与蜗杆完全共轭的斜齿轮(式(14))与标准斜齿轮进行比较，两个齿面间啮合干涉结果如图 4 所示。随着蜗杆头数的增加，干涉量也增加了。对于 ZN 型蜗杆，变化趋势相同。
为了对比不同节圆半径对齿面干涉量的变化情况，分别计算了头数为1、2、3，节圆半径为5 mm、6 mm、7 mm 和8 mm的蜗杆，与蜗杆完全共轭的斜齿轮(式 (14))与标准斜齿轮进行比较。图5和图6分别为 ZA型蜗杆和ZN 型蜗杆的计算结果。图中分别对比了相同蜗杆头数、不同节圆半径的蜗杆与标准斜齿轮的啮合干涉量。由图可知，ZA 型与 ZN 型蜗杆与斜齿轮的齿面干涉量变化规律基本一致，干涉量的大小也基本一致。
3、结束语
(1) 蜗杆-斜齿轮传动结构，不仅具有蜗杆-蜗轮传动结构的优点，而且弥补了蜗轮、蜗杆在加工和装配工艺上的不足。斜齿轮加工不需要专用的特制刀具，通常采用注塑加工，效率高、成本低。蜗杆-斜齿轮对轴向安装不敏感，大大降低了装配的难度，提高了生产效率。
(2) 建立了蜗杆与共轭斜齿轮传动的啮合坐标系，通过蜗杆的螺旋面方程，经啮合坐标变换，得到了理论上完全共轭的斜齿轮齿面方程。将该理论斜齿轮齿面与常规的斜齿轮齿面进行比较，可以分析齿面间的干涉。
(3) 对于 ZA 型和 ZN 型蜗杆，蜗杆头数和节圆半径对蜗杆齿轮传动的啮合干涉有影响。增加蜗杆头数、减小蜗杆节圆半径都会使干涉量增加，在相同的蜗杆设计参数条件下，ZN型蜗杆的干涉量与ZA型蜗杆基本一致。
综上所述，在小型交错轴传动中，蜗杆-斜齿轮传动应用广泛，在设计蜗杆-斜齿轮传动时，为了提高该传动副的啮合性能，减小啮合时的噪声，需要根据干涉量的大小对斜齿轮进行相应的修形处理，避免传动时的啮合干涉。
参考文献略.