一体化电机模组是机器人领域的重要发展方向，它省去了中间传动部件，将电机和减速器集成为一个模组整体，机器人的动力传动系统结构得以简化，使得动力传动系统更紧凑。
传动效率是机器人一体化电机模组的重要指标，较高的传动效率不仅可以减小动力组件的体积和质量，而且还能降低整机的能耗，增加待机时间。
另外，在关节机器人应用领域，很多场合通过检测电机电流从而对外力进行估计，减速器传动效率越高，则减速器的机械阻抗就越小，外力和电机之间的力传递就越透明。因此，高传动效率的减速器，能实现机器人关节更高精度的基于电机电流环的外力感知。
本文主要针对一体化电机模组中的减速器进行传动效率计算和优化分析，现有齿轮减速器效率优化方法过于复杂，需要进行复杂的前处理，不便于在设计初期快速确定减速器关键参数。本文基于传动效率精确计算公式，推导了 3K 行星齿轮系统精确的效率计算公式，并提供了一种通过调整齿轮组中心距和齿轮变位系数来获得该减速器最高啮合效率的方法，只需要输入齿轮模数、各齿轮齿数、齿顶高系数和标准压力角，便可以计算得到效率最高时的减速器关键参数(最优中心距和最优变位系数)，有助于设计者在设计初期快速确定减速器齿轮系统的关键参数。
1、一体化电机模组机械设计
本文所研究的一体化电机模组结构如图 1 所示，包括减速器、壳体、电机、编码器。电机转子通过平键与减速器太阳轮连接，将动力传递到减速器输入端，编码器用于获取电机转子位置，外部驱动器(未图示)用于对该一体化电机模组进行控制。该模组将电机和减速器高度集成为模组形式，可以显著减小传动系统的体积和质量，有利于提升机器人系统的功率密度。
减速器原理如图 2 所示，为 3K 型减速器，齿轮 A 为输入端太阳轮，齿轮 C 为一级行星齿轮，齿轮 B为一级内齿圈，齿轮 D 为二级行星齿轮，齿轮 E 为二级内齿圈(动力输出齿圈)。该类型减速器可以在有限的空间实现较大速比传动，相比其他类型的齿轮减速器，能够有效减小模组的体积和质量，从而提高模组的功率密度。
2、减速器啮合效率精确计算
目前计算减速器啮合效率的方法主要有以下两种：
(1)日本学者两角宗晴公式：
式中：ηm 是啮合效率;μ 是摩擦系数;Z1，Z2 分别是齿轮 1 和齿轮 2 的齿数;ε1，ε2 分别是啮入重合度和啮出重合度;φ12 为齿轮副的啮合效率损失。
(2)苏联学者库德略采夫公式：
式中：f 是与齿轮齿顶高系数 h∗a 相关的系数;当 h∗a ≤m 时，f= 2. 3，当 h∗a=(1. 0～1. 8)m 时，f = 3. 1，m 为齿轮模数。
两角宗晴的公式较为精确，而我国工程技术人员多采用库德略采夫的公式。根据库德略采夫的公式，齿轮啮合效率只跟摩擦系数 μ、两个齿轮的齿数 Z1 和 Z2 、齿顶高系数 h∗a 有关，而实际上，不同的中心距及不同的齿轮变位系数也会影响齿轮啮合效率。
本文主要基于两角宗晴的啮合效率公式，详细推导出齿轮啮合效率与齿轮中心距和齿轮变位系数的关系，并给出最高啮合效率对应的最优齿轮中心距和最优齿轮变位系数确定的方法。
本文采用的 3K 行星减速器齿轮系的啮合效率：
式中：ηBAE是 3K 行星减速器齿轮系的啮合效率;iBAE 为齿轮 B 固定、齿轮 A 输入、齿轮 E 输出的减速比;iXAB为支架 X 固定、为齿轮 A 输入、齿轮 B 输出的减速比;iXEB为支架 X 固定、齿轮 E 输入、齿轮 B 输出的减速比;ZA ，ZB ，ZC ，ZD ，ZE 分别为齿轮 A，B，C，D，E 的齿数;φ X EB 为支架 X 固定、齿轮 E 输入、齿轮 B 输出时传动机构中各齿轮副啮合损失系数之和。
减速器各齿轮齿数由传动比需求和结构限制确定后，减速器齿轮系的啮合效率中唯一的未知数为式(4)中的 φ XEB ，其计算公式 ：
式中：φXBC 为支架 X 固定、齿轮 B 输入、齿轮 C 输出时齿轮副啮合损失系数;φ X DE 为支架 X 固定、齿轮 D 输入、齿轮 E 输出时齿轮副啮合损失系数。
根据式(2)，式(8)中齿轮副啮合损失系数 φ XBC 和 φXDE 的计算公式：
式中：ε1k 为齿轮 B、齿轮 C 啮入重合度;ε2k 是齿轮 B、齿轮 C 啮出重合度;ε1i 为齿轮 D、齿轮 E 啮入重合度;ε2i 是齿轮 D、齿轮 E 啮出重合度。
φXBC 和 φXDE 为两对齿轮副啮合损失系数，其计算方法是一样的，下面以 φXBC 的计算为例进行公式推导，φXDE 公式推导方法跟 φXBC 相同。
式(9)中齿轮 B、齿轮 C 啮入重合度 ε1k，齿轮B、齿轮 C 啮出重合度 ε2k 计算公式如下：
式中：αk 是齿轮 B 和齿轮 C 的啮合压力角;αB 是齿轮 B 齿顶压力角;αC是齿轮 C 齿顶压力角;αk 、αB 、 αC 计算公式如下：
式中：m 是齿轮模数;α 是变位之前的标准压力角，取值为 20°;r′ 是齿轮 B 和齿轮 C 的实际中心距;dbC 和 dbB 分别是齿轮 C 和齿轮 B 的基圆直径;daC 和 daB 分别是齿轮 C 和齿轮 B 的齿顶圆直径。dbC ， dbB，daC，daB 计算公式如下：
式中：h∗a 为齿顶高系数，取值为 1;xB ，xC 分别为齿轮 B、齿轮 C 的变位系数;r为理论中心距;r′ 为实际中心距;α′ 为变位后分度圆端面压力角。
至此，综合式(4)～ 式(19)，3K 行星减速器齿轮系的啮合效率计算公式中的已知量为：齿轮 A，B，C，D，E 的齿数 ZA，ZB ，ZC ，ZD，ZE;变位之前的标准压力角 α;理论中心距 r;齿顶高系数 h∗a;齿轮模数 m;未知的变量为：实际中心距 a′;齿轮 B 变位系数 xB;齿轮 E 变位系数 xE 。
综上，要使齿轮系啮合效率最高，则需要选择最优的中心距 a′ 和变位系数 xB 和 xE 。
3、减速器最大效率优化方法
由前述可知，在减速器的速比和尺寸根据设计需求已经确定的情况下，齿轮模数和各齿轮的齿数也已经确定，在此条件下，要使减速器齿轮传动系统实现最大的啮合效率，可以调整的变量只有三个：齿轮实际中心距 a′;齿轮 B 变位系数 xB、齿轮 E 变位系数 xE。
本文设计方案中的标准减速器参数如表 1，各齿轮均不变位。
根据前述效率精确计算方法，按照标准减速器参数，计算得到的减速器啮合效率为 78. 2%。
效率优化开始前，先根据减速器齿轮系设计原则和实际结构设计约束，确定中心距、齿轮 B 变位数、齿轮 C 变位系数可以变动的的范围。本文方案中，中心距可变动范围为 18. 5 ～ 20. 5 mm，齿轮 B 变位系数可变动范围为-0. 7～1. 0，齿轮 E 变位系数可变动范围为-0. 6～1. 0。
在中心距可变动范围内，每间隔 0. 1 mm 进行一次齿轮效率的计算，在每个中心距下，齿轮 B 变位系数和齿轮 E 变位系数也间隔 0. 1 进行排列组合。本文方案中，中心距有 21 个可选值，每个中心距下，齿轮 B 和齿轮 E 的变位系数有 306 种组合， 一共能计算得到 6 426 个不同的排列组合，从中选出效率最大点对应的中心距、齿轮 B 变位系数、齿轮 E 变位系数。
表 2 为中心距为 20 mm 时的减速器啮合效率数据，图 3 为对应的啮合效率图。
在20 mm中心距情况下，当齿轮 B 变位系数为 1、齿轮 E 变位系数为 1 时，减速器啮合效率最高为 86. 3%。以此类推，可以得出在中心距可变动范围为 18. 5～20. 5 mm内，每间隔 0. 1 mm 中心距对应的最大效率，最后对选取所有中心距下最大效率值和对应的变位系数参数作为最终的设计参数。
本方案中，最终选择得到的效率最优时的减速器参数如表 3 所示。当中心距等于 20 mm、齿轮 B 变位系数等于 1、齿轮 E 变位系数等于 1 时，效率最大为 86. 3%，最终设计采用改组参数作为减速器的设计参数。
根据前述，按照标准减速器参数，计算得到的减速器啮合效率为 78. 2%，比前述经过效率优化后的减速器啮合效率 86. 3%低 8. 1%，说明经过效率优化后，减速器的理论啮合效率有效提高。
计算得到减速器轴承系统效率 ηB 为 96%，搅油效率 ηS 为 97%，因此，最终减速器的传动效率 η 为 80. 3%。
4、试验验证
根据前述效率优化后的减速器参数进行样机设计，并进行减速器传动效率测试，如图 4 所示，用于减速器传动效率测试的样机为未装入电机的模组。
在额定载荷 90 N·m、额定输入转速2 000 r/ min 条件下，进行减速器效率测试，结果如表 4 和图 5 所示。测得的最大传动效率为 79. 7%，与前述减速器理论传动效率 80. 3%接近。
5、结语
本文推导出了 3K 减速器精确的效率计算公式，并基于该公式提出了一种提高减速器啮合效率的优化方法。
基于本文所提及的优化方法，进行了样机的设计及测试，测试结果表明，该优化方法计算得到的减速器效率跟实测值吻合。
对于其他类型的齿轮减速器，也可以采用本文所提及的单对齿轮啮合效率计算方法计算得出啮合效率，并代入相应减速器效率计算公式进行减速器齿轮系啮合效率的计算。
参考文献略.