RV 减速器是在针摆行星传动的基础上发展起来的新型传动装置，由一个渐开线圆柱齿轮减速机和摆线针轮减速机两级组成，因符合机器人的传动要求而被广泛应用。由于摆线齿轮存在多个用于装配的圆孔和梯形孔，存在低刚度区域，在磨齿加工过程中容易产生变形，导致摆线齿轮尺寸精度降低，影响 RV 减速器传动性能，因此如何有效地预测加工变形，得到摆线齿轮的变形规律尤其重要。
许多学者开展了齿轮加工变形方面的研究。冯佩瑶对直齿锥齿轮的铣削加工变形机理进行了研究，建立了刚度-应力-变形的映射模型，有效地预测了轮坯加工变形。王斌等通过有限元仿真，得到了锥齿轮在切齿加工过程中的变形规律。蔡安江等通过剃齿加工分析得到了接触区域变形的极限应力值，为划分变形区域提供了分界值。Wang 等为了探究直齿锥齿轮在铣削加工过程中的变形情况，研究了附加应力的变化与齿坯弯曲变形的关系，推导了齿轮毛坯弯曲变形的计算公式。Lin 等为了解决曲线面齿轮变形，提出了一种考虑等效齿数、截面特性、实际接触状态和载荷分布的曲线面齿轮齿弹性变形预测模型。Feng 等为了减小工件的变形，针对大型齿轮齿形采用整体铣削加工，提出了一种大型齿轮齿形三辊弯曲工艺，有效地减小了齿轮的变形。
目前人们对渐开线齿轮的铣齿、剃齿加工变形已开展了大量的研究，而以摆线齿轮为研究对象，对磨齿加工变形的研究相对较少，为了得到摆线齿轮在磨齿加工过程中的变形规律，本文以摆线齿轮为研究对象，建立单颗磨粒磨削力模型，针对摆线齿轮低刚度区域进行加工变形有限元分析，研究在磨削力作用下摆线齿轮低刚度区域的磨削过程变形规律，分析磨削速度、磨削深度、轴向进给量对变形的影响规律。
1、磨削力分析
成形磨削是一种将砂轮截面廓形修整为与齿轮齿槽廓形一致的形状进行齿轮磨削加工的方法。摆线齿轮磨削见图 1。
磨齿加工过程中会产生磨削力。磨削力可以分为相互垂直的三个分力，沿砂轮径向的法向磨削力 Fn，沿砂轮切向的切向磨削力 Ft ，沿砂轮轴向的轴向磨削力 Fa。轴向磨削力 Fa 较小，可以忽略不计。
砂轮依靠表面固着大量磨粒来实现材料去除，磨削可以看作单颗磨粒不断切削的过程。通过单颗磨粒来研究磨削过程，把单颗磨粒磨削过程分为 3 个阶段，即滑擦、耕犁、切削(图 2)。
因此单颗磨粒的磨削力可以为三个阶段的合力，可表达为：
式中：K 、K1、K2、K3、K4、K5、α0、b0、c0 为试验确定常数; vs 为磨削速度; vw 为进给速度; ap 为磨削深度; ds 为砂轮直径;b 为磨削宽度;M 为磨粒粒度。
2、磨齿变形有限元模型的建立
摆线齿轮三维模型的建立
摆线齿轮齿廓方程为：
式中：iH 为摆线齿轮与针轮的传动比，iH = Zp / Zc ，Zp 为摆线齿轮的齿数; Zc 为针轮齿数; S = 1 + K21 - 2K1 cos φ ; Rz 为针齿中心分布圆半径; rz 为针轮半径; φ 为啮合相位角; K1 为短幅系数; A 为偏心距。摆线齿形基本参数见表 1。
根据式(2)和表 1 中摆线齿轮基本参数，建立摆线齿轮的三维模型，见图 3。
有限元模型的建立
由于摆线齿轮结构的对称性，本文选取三分之一摆线齿轮的梯形孔区域来进行加工，摆线齿轮材料为 25CrMo4，材料的弹性模量 E 为 212 GPa，泊松比 ν 为 0.3。
采用 C3D10 四面体单元对摆线齿轮进行网格划分，对靠近加工区域的网格进行细化，见图 4 (a)。由于选取 1/ 3 的摆线齿轮两侧是对称的，因此在图 4(a)所示齿轮两侧分别设置对称约束;
在加工过程中中心圆与芯轴装配，中心圆位置施加 X 向和 Y 向约束;梯形孔处与定位销装配，施加 X 向和 Y 向约束;摆线齿轮的底部受到夹具的支撑，施加 Z 向约束。
成形砂轮的磨料为 CBN，磨粒粒度为 60 #，其中砂轮直径 ds 为 150 mm，砂轮宽度 b 为 42 mm。在磨齿加工过程中，摆线齿轮与成形砂轮的接触区域为磨削弧，见图 4(b)。共选取同一齿槽的 5 个不同进给位置进行分析。根据式(1)的计算值，在低刚度区齿槽磨削弧内的等效节点上施加单颗磨粒所需的磨削力，Fn 施加方向垂直于该区域，Ft 施加方向平行于该区域。
3、结果分析
试验设计
通过对摆线齿轮磨齿加工变形有限元分析，研究不同磨齿磨削速度、磨削深度和轴向进给速度对摆线齿轮变形规律的影响。仿真中采用的磨齿加工参数见表 2。
磨削过程的变形规律
选取齿槽磨削过程中砂轮进给到如图 4(b) 所示的 5 个不同磨削位置，即：砂轮切入齿槽时、1 / 4 齿槽时、1 / 2 齿槽时、3 / 4 齿槽时、砂轮即将离开齿槽时分别进行仿真分析。磨削速度为 50 m / s，轴向进给速度为 1 500 mm/ min，磨削深度为 50 μm，不同磨齿加工位置的位移云图见图 5，不同加工位置的变形规律见图 6。
从图 5(a)、图 6 可知，成形砂轮刚开始切入摆线齿轮产生的变形量最大，为 2.29 μm。随着砂轮继续磨削，图 5(b) 显示成形砂轮切到齿槽 1/4 时，产生的变形量为 2.06 μm，从图 6 可以看出，砂轮切到齿槽 1/4 时，摆线齿轮的变形量快速下降。图 5(c)显示，成形砂轮切到 1/2 齿槽时产生的变形量最小，为 2.01 μm，从图 6 可以看出砂轮从齿槽 1/4 再到进给至 1/2 齿槽时，变形量下降速度变慢。图 5(d)显示，成形砂轮切到 3/4 齿槽时，产生的变形量为 2.03 μm，可以看出当砂轮继续进给从 1/2 齿槽到 3/4 齿槽时，产生的变形量逐渐上升。图 5(e)显示成形砂轮即将离开齿槽时，产生的变形量为 2.25 μm，略小于刚切入时的变形量。从图 6 可以看出砂轮从 3/4 齿槽到砂轮离开时，齿轮变形量快速上升。
由图 6 的整体变化趋势可知，摆线齿轮磨齿加工产生的变形量由大减小再增大，呈现出一个开口向上的抛物线形状，其原因在于：砂轮刚切入齿槽时的刚度最低，产生的变形量是最大的，随着砂轮继续进给，齿槽的刚度在逐渐增大，当磨削至齿槽 1/2 时的刚度最大，产生的变形量最小;随着砂轮进给到即将离开工件时，齿槽的刚度开始逐渐变小，变形量逐渐增大。
磨削速度对低刚度区域的影响
通过磨削过程分析得知，砂轮刚切入齿槽时变形最大，因此选取加工位置为砂轮切入摆线齿轮处进行变形分析。磨削深度为 20 μm，轴向进给速度为 1 500 mm / min，磨削速度分别为 50、55、60、65 m/ s。不同磨削速度下的位移云图见图 7，最大变形量随磨削速度的变化规律见图 8。
在磨削速度为 50 m / s 时，磨削力通过式(1) 计算可得 Fn = 4.28 N，Ft = 2.22 N，变形预测结果见图 7(a)，沿 Y 方向的变形量为 1.12 μm，从图 8 可知此时产生的变形量是最大的。在磨削速度为 55 m/ s 时，磨削力 Fn =3.89 N，Ft =2.01 N，变形预测结果见图 7(b)，沿 Y 方向的变形量为 1.10 μm。从图 8 可知产生的变形量略低于速度为 50 m/ s 的变形量。在磨削速度为 60 m / s 时，磨削力 Fn = 3. 56 N，Ft =1.85 N，变形预测结果见图 7(c)，沿 Y 方向的变形量为 1.07 μm。在磨削速度为 65 m/ s 时，磨削力 Fn =3.29 N，Ft =1.71 N，变形预测结果见图 7(d)，沿 Y 方向的变形量为 1.04 μm，产生的变形量最小。由图 8 可知，磨削产生的最大变形量为 2. 29 μm，最小变形量为 1.04 μm。
从图 8 还可看出，随着磨削速度的增大，变形量在缓慢地减小，其原因在于：随着磨削速度的增大，砂轮的每转进给量减小，磨粒与工件产生的切屑厚度变小，砂轮作用于工件上的磨削力降低，使摆线齿轮变形量随着磨削速度的增大而逐渐减小。
磨削深度对低刚度区域的影响
选取加工位置为砂轮切入摆线齿轮处进行变形分析，磨削速度为 50 m / s，轴向进给速度为 1 500 mm / min，磨削深度分别为 20、30、40、50 μm，不同磨削深度下的位移云图见图 9，最大变形量随磨削深度的变化规律见图 10。
当磨削深度为20 μm 时，磨削力 Fn =4.28 N，Ft =2.22 N，变形预测结果见图 9(a)，沿 Y 方向的变形量为 1.12 μm。从图 10 可以看出此时产生的变形量最小。当磨削深度增大为 30 μm 时，磨削力 Fn = 5.25 N，Ft = 2.72 N，变形预测结果见图 9 (b)，沿 Y 方向的变形量为 1.55 μm。在磨削深度继续增大为 40 μm 时，磨削力 Fn = 6.08 N，Ft = 3. 15 N，变形预测结果见图 9 (c) ，沿 Y 方向的变形量为 1.93 μm。从图 10 可以看出变形量在逐渐增大。当磨削深度为 50 μm 时，磨齿加工产生的磨削力 Fn =6.81 N，Ft =3.53 N，变形预测结果见图 9(d)，沿 Y 方向的变形量为2.29 μm。从图 10 可以看出此时的变形最大。
由图 10 还可看出，随着磨削深度的增大，变形量呈线性上升，其原因在于：当砂轮的切深不断增大时，磨粒与工件的接触面积也在不断地增大，切屑厚度变厚，导致磨削力不断地增大，摆线齿轮的变形量也随着磨削深度的增大而快速增大。
轴向进给速度对低刚度区域的影响
选取加工位置为砂轮切入摆线齿轮处进行变形分析，磨削速度为 50 m/ s，磨削深度为 20 μm，轴向进给速度分别为1 500、3 500、5 500、7 500 mm/ min 的不同轴向进给速度下的位移云图见图 11，最大变形量随轴向进给速度的变化规律见图 12。
在轴向进给速度为 1 500 mm / min 时，磨削力 Fn =4.28 N，Ft =2.22 N，变形预测结果见图 11(a)，沿 Y 方向的变形量为 1.12 μm。从图 12 可以看出所产生的变形量最小。随着轴向进给速度增大为 3 500 mm / min 时，磨削力 Fn = 9. 98 N，Ft = 5. 17 N，变形预测结果见图 11(b)。沿 Y 方向的变形量为 1.61 μm。从图 12 可以看出变形量在逐渐增大。当轴向进给速度为 5 500 mm / min时，磨削力 Fn = 15.68 N，Ft = 8.11 N，变形预测结果见图 11(c)，沿 Y 方向的变形量为 1.94 μm。当轴向进给速度增大到 7 500 mm / min 时，磨削力 Fn = 21.45 N，Ft = 11.07 N，变形预测结果见图 11 (d)，沿 Y 方向的变形量为 2.20 μm。从图 12 可以看出此时产生的变形量最大。
由图 12 的整体变化趋势可知，随着轴向进给速度的增加，变形量在不断增大，其原因是轴向进给速度的增加会使磨粒的切削面积增大、切屑变厚，进而使磨削力增加，让摆线齿轮的变形量增大。
4、结论
本文基于 ABAQUS 有限元分析软件，建立了摆线齿轮磨齿加工变形有限元模型，研究磨齿加工过程中的磨削速度、磨削深度及轴向进给速度对摆线齿轮变形影响的变化规律，得到如下结论：
(1)在同一齿槽的磨削过程中，砂轮进给到刚切入摆线齿轮时，齿轮的变形量最大，为 2.29 μm;成形砂轮进给到齿槽 1 / 2 处时，齿轮的变形最小，为 2.01 μm。
(2)随着磨削速度的增大，摆线齿轮的变形量在缓慢减小。磨削速度 vs 为 50 m / s 时产生的变形量最大，为 2.29 μm。磨削速度 vs 为 65 m / s 时产生的变形量最小，为 1.04 μm。
(3)随着磨削深度的增大，摆线齿轮的变形量呈线性增大趋势。磨削深度 ap为 20 μm 时产的变形量最小，为1.12 μm。磨削深度 ap为50 μm 时产生的变形量最大，为 2.29 μm。
(4)随着轴向进给速度的增大，摆线齿轮的变形量在逐渐增大。当轴向进给速度 vw 为 1 500 mm / min 时产生的最小变形量为 1.12 μm;轴向进给速度 vw 为 7 500 mm/ min 时产生的最大变形量为 2.20 μm。
参考文献略.