随着我国风电齿轮箱、工程机械、盾构机等大重型设备的高速发展，对大规格、高精密齿轮的需求进一步加大。满足目前产品制造精度提升的方法是通过 CNC 机床的误差溯源、测量及补偿保证的。在传统 CNC 磨齿误差模型中，由于刀具回转面和工件螺旋面接触条件求解方法较为复杂，难以获得解析解，造成后续齿形误差溯源较困难。因此，提出一种基于“滚⁃磨”工艺的成形磨齿齿形误差分析方法，建立磨齿机几何误差传动链模型，开发新的补偿工艺，显得尤为重要。
张立功等基于砂轮廓形求解齿轮端面齿形的数值模拟法，分析了安装角误差、中心距误差、切向误差等对齿形误差的影响，但缺少完整齿形的误差分析和对应的补偿工艺。秦大同等针对修形斜齿轮的齿形误差溯源问题，提出了新的修形斜齿轮补偿工艺，该方法的补偿局限于工艺参数的调整。周宝仓等基于模糊聚类法和最小二乘法，对成形磨齿机的砂轮与工件轴的径向热误差进行分析解耦及补偿，虽然提高了成形磨齿机的加工精度，但没有建立热误差对齿形误差的关联模型，难以通过齿形精度测量的结果分析其误差产生的原因。XIA 等基于几何误差与齿面误差的定量映射关系，间接识别了影响磨齿精度的关键几何误差，完成补偿验证实验，虽然该方法分析了几何误差与齿形误差的影响，但几何误差和齿形误差的定量映射关系是基于统计学理论建立的，缺少必要的物理学机制分析，模型的精度和稳定性尚需进一步研究。
针对大规格齿轮齿形误差溯源较困难的问题，本文将该问题转化为由工艺参数引起的齿轮齿形误差分析问题，提出了一种“滚⁃磨”工艺计算方法，分析砂轮的位置误差(中心距误差、安装角误差、切向误差)、半径误差及齿轮的齿数、螺旋角对齿形误差的影响，并建立磨齿机几何误差传动链模型，对齿轮精度进行测量和补偿，为齿形误差溯源及补偿提供科学依据。
一、“滚⁃磨”工艺运动学模型
滚齿运动学模型
基于磨前滚齿加工中的齿轮与滚刀啮合原理，建立如图1 所示的齿轮与磨前滚刀啮合模型。设 O 点为齿轮节圆与磨前滚刀轴向截面节线啮合点作在空间固定的坐标系 O⁃X，Y，Z。再作一个与磨前滚刀轴向截面固联并随它移动的坐标系 Oh ⁃Xh，Yh，Zh。设 Og 为 齿轮圆心作与齿轮 g 固联并随它转动的坐标系 Og ⁃ Xg ，Yg ，Zg 。
设齿轮由起始位置转过角度 φg，磨前滚刀刀刃轴向截面由起始位置平移 rgφg，p 是齿轮螺旋角的导程，则从滚刀坐标系 Oh ⁃Xh，Yh，Zh 到齿轮坐标系 Og⁃Xg，Yg，Zg 的变换关系为：
磨齿反切运动学模型
基于磨齿加工中的齿轮与砂轮啮合原理，利用磨前齿轮工件反切成形砂轮，建立坐标系如图 2 所示。Og ⁃X，Y，Z 是齿轮坐标系，设齿轮端面齿形为计算平面，在其上任意点坐标用点 Q(X，Y)表示，Ow ⁃X，Y，Z 是砂轮坐标系。经过磨前齿轮反切成形砂轮廓形的相对运动，点 Q 在砂轮坐标系中表示为 P′ = (u′，v′ ，w ′)， 则从 Og⁃X，Y，Z 到 Ow ⁃X，Y，Z 的变换式为：
式中，Γ 为砂轮与齿轮的安装角；a 为砂轮到齿轮的中心距；φ 为齿轮的旋转角度，φ = 2πξ/p；ξ 为齿轮相对于砂轮在 Z 方向的相对位置。
在砂轮坐标系中，P ′绕着砂轮轴线回转，总会转到砂轮坐标系的 xy平面内的 P(x，y)，则砂轮轴向截形上的 P 点坐标计算式为：
大型 CNC 磨齿机几何误差模型
大型 CNC 磨齿机主要运动轴由直线轴(X 轴、Y 轴、Z 轴、W 轴)和旋转轴(C 轴、A 轴)组成，如图 3 所示。
该 CNC 磨齿机具有尺寸大、质量大、组成环节多的特点，磨齿时会产生位置相关误差和位置无关误差，从而造成刀具理论廓形相对于刀具⁃工件坐系的偏离，其几何误差传动链模型如图 4 所示。
二、齿形误差来源分析
位置误差
砂轮位置误差包含中心距误差 Δa、安装角误差ΔΓ与砂轮切向误差 Δx，如图 5 所示。
成形磨齿位置误差的产生主要与砂轮的安装、各轴几何误差的耦合、及砂轮磨齿时的变形有关。
砂轮半径误差
成形磨齿砂轮半径的改变会影响刀具与工件接触线的变化，间接产生中心距误差，如图 6 所示。
由于砂轮反复修整，使得砂轮外径逐渐减小，引起砂轮半径误差 Δr。
齿数和螺旋角
由于大规格齿轮直径的不断增长，齿数 Z 和螺旋角 β 的变化会造成齿轮齿形的改变，进而影响砂轮与齿轮的接触线啮合特性。如图 7a 所示，假设齿轮的齿数增加到非常多的时候，齿形几乎是一条直线，然而砂轮截形是一条曲线。如图 7b 所示，不同的齿轮螺旋角使得接触线的位置和形状都发生变化。
三、齿形精度分析
基于工件和磨前滚刀的啮合关系，得到图 8 所示的某款大型风电齿轮端面齿形展成包络曲线及设计参数如表 1 所示。
采用1.2 节的计算方法，输入不同的误差值，再逆向计算出输入误差影响下成形磨削的实际齿形，将该齿形与理论齿形进行比较，计算出齿形误差，用于齿形精度分析。
中心距误差 Δa 对齿形精度的影响
Δa迭代步长取值1mm，从 ±1mm ～ ± 6mm，分析其对全齿形的影响；Δa迭代步长取值 2μm，从 ± 2μm ～ ± 20μm，分析其对渐开线齿形的影响，得到的结果如图 9 所示。
进刀过深会造成齿形压力角偏大和基节偏小。相反，进刀不足会造成齿形压力角偏小和基节偏大。
安装角误差ΔΓ对齿形精度的影响
ΔΓ 迭代步长取值 0.5°，从 ± 1° ～ ± 3°，分析其对全齿形的影响;ΔΓ 迭代步长取值 0.002°，从 ±0.002° ～ ±0.02°，分析其对渐开线齿形的影响，得到的结果如图 10 所示。
随着安装角误差正向或负向增大，齿根过渡圆部分理论齿形和实际齿形不重合，齿形曲率发生改变，从而产生齿形压力角误差。当 ΔΓ>0时，齿形压力角减小;当 ΔΓ<0 时，齿形压力角增大。
切向误差Δx 对齿形精度的影响
Δx 迭代步长取值1mm，从 ±1mm ～±6mm，分析其对全齿形的影响；迭代步长取值 2μm，从 ±2μm ～ ±20μm，分析其对渐开线齿形的影响，得到的结果如图11 所示。
左右侧齿形误差产生较均匀，但其左右侧齿形不对称。当 Δx 在 20 μm 以内，对齿形精度影响较小，但会产生较大齿厚误差。
砂轮半径误差 Δr 的影响
Δr 迭代步长取值 1 mm，从 -1mm ～ -10mm，分析其对空间接触线的曲线变化，如图 12 所示。
空间接触线的大小和位置的变化都是在毫米范围之内，在精磨齿轮工序中，对齿形误差的要求是极为微小的，因此每次磨齿选择合适的砂轮半径是十分重要的。图 13 是 Δr对齿形误差偏差的定量影响图。
图中，Δr 对齿形的过渡圆和齿根圆几乎没有影响，齿形误差偏差在 ± 0.02 mm 以内;Δr对齿形的渐开线和齿顶圆影响较大，齿形误差偏差数值最大为 0.12 mm。
齿数 Z 和螺旋角 β 的影响
位置误差迭代步长取值 0.01 mm(Δa，Δx)和 0.01° (ΔΓ)，初始数值都为 0.01，终止数值都为 0.06，分析其在不同Z和 β 情形下对齿形误差的影响，如图 14 所示。
可以知道，Z和 β 增大，位置误差对齿形误差的影响较小。综上所述，对于高精度齿轮精密磨削而言，将 Δa、Δx、ΔΓ 分别控制在 0.01 mm、0.01 mm 和 0.01°以内，满足磨齿的精度和稳定性，具有重要参考意义。
四、齿形误差补偿
齿形误差补偿主要通过在调整阶段反复测量和试磨，基于式(4)和式(5)的算法，将 Δa、Δx、ΔΓ 解耦成几何误差，将磨齿机各轴运动补偿在误差范围以内。在正式磨齿时选择合适的砂轮半径就可以制造出高精度齿轮，具体流程如图 15 所示。
五、磨齿加工试验验证
基于齿形误差分析计算及补偿方法，采用激光干涉仪测量 CNC 磨齿机几何误差，提高大型 CNC 成形磨齿齿形精度。大规格齿轮加工试验和 CNC 磨齿机几何误差测量试验如图 16 所示。
通过以上齿形误差补偿方法，获得补偿前后的齿形精度，根据渐开线圆柱齿轮精度国家标准 GB/T10095.1-2001 对精度等级进行分类，如表 2 所示。
由表 2 可知，总偏差是反映齿形精度的重要检测值，在该成形磨齿实验中，大型风电齿轮齿形精度提高到 GB4 级。经补偿后倾斜偏差至少可以提高 2 级，但形状偏差无影响。
六、结论
(1)可以通过仿真图像中压力角、基节、齿厚、齿形曲率、齿形误差的数值变化，对位置误差进行精准溯源。
(2)中心距误差的补偿与 Z 轴的直线度误差、俯仰角误差、偏摆角误差和 C 轴的径向误差有关;安装角误差的补偿与 Z 轴的俯仰角误差、偏摆角误差和 C 轴的倾角误差有关;切向误差的补偿与 Z 轴的直线度误差、俯仰角误差、偏摆角误差、滚摆角误差和 C 轴的倾角误差有关。
(3)基于“滚⁃磨”工艺的补偿算法通过实验验证，可以提高总偏差精度等级，对倾斜偏差提升效果明显，形状偏差无影响。
参考文献略