齿轮传动在现代工业中扮演着非常重要的角色，它具有效率高、结构紧凑、传动精度高等特点，因而被广泛应用于机械传动领域。直齿、斜齿、人字齿是最常见的齿轮传动，由于结构上的原因，上述圆柱齿轮存在一定的缺点，如渐开线直齿圆柱齿轮承载力有限、斜齿轮存在轴向力以及人字齿轮加工复杂等问题的存在。近些年国内外有些学者对圆弧齿线圆柱齿轮也进行研究，王虹等利用 ANSYS 对齿轮进行了动力学分析;马登秋对齿轮不同位置的冲击接触应力的分布进行了研究;ZHANG X G 等研究了圆弧齿线圆柱齿轮的接触线，并对齿轮的接触应力和弯曲应力进行了研究。CHEN Y C 等推导了该齿面数学模型，研究了其传动误差等，研究结果表明，该齿轮具有重合度大、接触润滑性能好、无轴向力、噪音低、啮合性能好、效率高等优点，相对于直齿轮传动存在的平稳性较差，易产生冲击、振动和噪声问题以及斜齿轮存在轴向力、人字齿轮加工繁琐复杂等问题，该齿轮在大多数应用环境下可以代替使用。
为解决上述圆柱齿轮结构上存在的缺点，笔者分析了一种新型的齿轮传动—圆弧齿线圆柱齿轮。圆弧齿线圆柱齿轮的主要特征是其齿线为一段空间曲线，圆弧齿线圆柱齿轮的齿廓既可以是渐开线，也可以是诺维柯夫圆弧曲线。通过分析得出该齿轮作为机械传动领域的一种机械基础零件，具有非常广阔的应用前景。
一、圆弧齿线圆柱齿轮的加工原理
目前，可查询到的圆弧齿线圆柱齿轮的加工方法有很多，如双刃旋转刀盘铣削加工、单刃旋转铣刀盘加工、平行连杆机构加工、数控立式铣床加工等，但最常见的加工方法为旋转刀盘法和平行连杆法。旋转刀盘铣削加工与平行连杆法机构相比，齿轮加工效率更高，同时也可以保证精度，在系统刚度、最大切削速度、加工齿形合理性、是否能加工硬齿面方面，旋转刀盘法具有更好的工艺性能，故目前使用范围最为广泛。但这种方法会使圆弧齿线圆柱齿轮表面留有加工痕迹，后续还需要进一步精加工。
旋转刀盘铣削加工齿轮的原理如图 1 所示，在加工齿轮的过程中，包括了 3 个运动：刀盘的高速旋转切削运动、齿坯绕中心的旋转运动和刀盘的水平移动、保证加工完整的刀盘的进给运动。刀盘安装在机床主轴上，齿坯安装在机床上，机床工作时，刀盘和齿坯之间将按既定的速度进行展成运动，所以：
VT = VR
式中：VT 是刀盘沿 X 方向移动速度；VR 是齿坯节圆上的旋转速度。
加工一个完整的齿后，利用分度机构完成齿坯分度，继续进行下一个齿面的加工，直至加工一个完整的齿轮。
建立如图 1 所示坐标系，S0( X Y Z) 为静止坐标系，S1( X1Y1Z1 ) 为与齿固联的动坐标系，ST( XTYTZT ) 为与刀盘固联的坐标系，以速度 VT =R·ω 相对 S0 坐标系做平移运动，R 为齿坯的分度圆半径，刀具平均展成半径为 Rt，右侧内刀刃用于生成凸齿面，左侧外刀刃用于生成凹齿面，内外刀刃的展出半径分别为 Rn =R-πm /4 和 Rm = R+πm /4，齿轮凸齿面的半径略小于凹齿面半径。
根据加工原理可知，加工凸齿面和凹齿面的刀盘半径存在差异，导致中间截面处的齿槽宽略小于齿轮端面齿槽宽。当由上述原理加工而成的一对齿轮副进行啮合时，其中一个齿轮的凸面与另一个齿轮的凹面接触啮合，由于齿面的展成半径不同，齿轮的啮合状态就如图 2 所示，此时的齿轮为点接触啮合。如图 3 所示。圆弧齿线圆柱齿轮的理想啮合状态为线接触啮合，此时齿轮的凸齿面展成半径与凹齿面的展成半径相等，沿齿宽方向的齿廓均为渐开线齿廓，齿线为圆弧的一部分，齿轮的周向齿槽宽和法向齿槽宽处处相等，齿轮副的接触线为空间曲线。
二、圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程
如图 4(a) 所示，该齿面∑可以认为是由某一径向截面齿面渐开线齿廓 T 沿基圆柱齿线 S 扫描形成。在基圆柱中间截面建立坐标系，使 S1( X1Y1Z1 ) 的 X1O1Y1 平面通过基圆柱中间截面，Z1 通过基圆轴线，基圆半径为 Rb1。坐标系 Sh( Xh Yh Zh ) 是距离中间截面 h 的齿线位置坐标系，β 为弧齿线的位置角，轮齿与平面 XhOhZh 截面如图 4(b) ，其与齿面∑ 的交线 Th 为渐开线。
图 4 圆弧齿线圆柱齿轮渐开线齿廓
齿廓渐开线方程为：
式中：α 为渐开线展开角。
Z1 和 Zh同轴且都通过基圆柱轴线，平面 XhOhZh 截面的齿廓可认为是由 X1O1Y1 平面上的渐开线齿廓绕 Z 轴旋转 β 得到，坐标系 Sh 下的渐开线的方程为：
根据其几何关系可以推出圆弧齿线位置角为：
式中：R 为分度圆半径；RT 为齿线半径。
由 Sh 坐标系转换到 S1 坐标系的变换矩阵为:
通过坐标变换：
可导出齿面方程:
式中：b 为齿宽。
三、圆弧齿线圆柱齿轮建模
圆弧齿线圆柱齿轮副的基本参数如表 1 所列，基于三维建模软件 SolidWorks，按照以下基本步骤：根据参数画出基圆、齿根圆、分度圆和齿顶圆及渐开线;然后画出圆弧齿线圆柱齿轮的端面齿形和中间截面齿廓，在 Matlab 中编写相关程序生成空间引导线，将引导线离散为若干点的坐标导入到 SolidWorks，利用曲线功能生成空间引导线;由于圆弧齿线圆柱齿轮的齿线为圆弧形状，在生成模型时只需要计算每个端面的旋转角度，最后根据引导线执行放样切除、圆角和阵列命令，就可以得到圆弧齿线圆柱齿轮模型。如图 5 所示。
表 1 圆弧齿线圆柱齿轮的主要几何参数
图5 圆弧齿线圆柱齿轮模型
平行于渐开线圆弧齿线圆柱齿轮中间轴线平面的任意截面齿廓均为渐开线齿廓，齿轮的周向齿厚也处处相等，并且该齿轮凹凸面曲率半径也相等，齿线为圆弧的一部分。这种齿形属于标准齿形，一对压力角和模数相等的圆弧齿线圆柱齿轮能啮合顺畅，齿面接触为线接触，该齿形可以增大接触区域和重合度， 使齿轮的使用寿命增加。齿轮副的模型如图 6 所示。
图 6 圆弧齿线圆柱齿轮齿轮副模型四、圆弧齿线圆柱齿轮副接触应力分析
根据文献，圆弧齿线圆柱齿轮的齿面接触应力与齿宽和齿线半径密切相关，并且相同条件下，圆弧齿线圆柱齿轮副的接触强度较直齿轮和斜齿轮有明显提高。文中研究相同条件下不同齿宽、齿线半径对该齿轮齿面接触应力的影响，利用 ANSYS Work-bench 对齿轮接触应力进行分析和总结。
齿宽对接触应力的影响
为了分析齿宽对圆弧齿线圆柱齿轮接触应力的影响，选取 8 组齿宽系数不同的齿轮副进行接触应力分析，齿宽系数 Φa 为齿轮宽度与中心距的比值，其余参数如表 1 所列。将建立的齿轮副模型导入到 AN-SYS Workbench 中对齿轮副进行接触应力分析，材料默认为结构钢，弹性模量为 2×1011 Pa，泊松比为 0.3， 小齿轮施加扭矩 T = 200 N·m，齿面接触类型为摩擦接触，摩擦系数 0.05，得到八组轮齿接触应力云图，如图 7 所示。
图 7 不同齿宽时轮齿的接触应力云图
图7(a) ～ (h) 分别对应了 8 组不同齿宽系数的圆弧齿线圆柱齿轮副在扭矩 T = 200 N·m 下的接触应力的大小，接触应力值如表 2 所列。将不同齿宽的齿轮接触应力值进行拟合，得到的曲线如图 8 所示。
表 2 不同齿宽时轮齿接触应力参数
图 8 不同齿宽接触应力分布图
图 8 中，当齿轮的齿数 z、模数 m、齿线半径 R、压力角 α 等参数一定时，齿轮的承载能力在一定范围内会随着齿宽 b 的增加而增强。但当齿宽系数 Φa 大 于 0.6 时，齿面的接触应力开始增大，载荷沿着齿宽的分布开始不均匀，容易造成偏载和应力集中的现象，使齿轮的实际承载能力下降。
齿线半径对接触应力的分析
为了分析变齿线半径对圆弧齿线圆柱齿轮接触应力的影响，选取 8 组齿线半径不同的齿轮副进行接触应力分析，其余参数如表 1 所列。小齿轮施加 T = 200 N·m 的扭矩，分析设置与上述一致，得到的 8 组接触应力云图如图 9 所示。
图 9 不同齿宽时轮齿的接触应力云图
图 9(a) ～ (h) 分别对应了 8 组不同齿线半径的圆弧齿线圆柱齿轮副在扭矩 T = 200 N·m 下的接触应力的大小，接触应力值如表 3 所列。将不同齿线半径的接触应力值进行拟合，得到的曲线如图 10 所示。
表 3 不同齿线半径时轮齿的接触应力参数
图10 不同齿线半径接触应力分布图
从图 10 可以看出，齿轮的齿数 z、模数 m、齿线 b、压力角 α 等参数一定时，齿轮的接触应力随着齿线半径的增加，总体表现为先减小后增大的趋势，图形类似抛物线。通过结果分析可知，该齿轮的承载能力与其齿线半径密切相关，但齿线半径并非越小越好或越大越好，而是在其他参数确定的情况下，齿线半径在某个范围内，齿轮承载能力最好，接触应力值最小。由 10 可知，当 1.5b≤R≤2.5b 时，圆弧齿线圆柱齿轮的承载能力最好。
五、结论
(1) 通过对圆弧齿线圆柱齿轮副加工原理和齿面方程的分析，利用建模软件 SolidWorks 和分析软件 Matlab 得到圆弧齿线圆柱齿轮的精准模型，为后续的分析提供了相关基础。
(2) 理论上齿轮齿面接触应力随齿宽系数的增加而减小，但并非越大越好，当 Φa 大于 0.6 时，会使齿槽中的空气体积变化大，啮合过程中使空气被压出的速度很快，导致噪音增大，而且随着齿宽的增大，载荷沿着齿宽的分布越不均匀，容易造成偏载和应力集中的现象，使齿轮的实际承载能力下降。
(3) 在模数 m = 4，齿数 z1 = 20、z2 = 30 的圆弧齿线圆柱齿轮副中，齿轮的齿线半径在 1.5b≤R≤2.5b 时，齿轮的承载能力最好。在齿轮其他相关参数不变的情况下，随着齿线半径的增加，接触应力总体表现为呈现先减小后增大的趋势，最终随着齿轮齿线半径增大到无限时，结果近似于直齿轮。研究的结论为圆弧齿线圆柱齿轮以后的工程应用和设计提供了理论依据。
参考文献略