螺旋齿面齿轮传动是一种斜齿圆柱齿轮与面齿轮相啮合的传动形式，具有承载能力强、重合度大、结构紧凑、传动稳定性好、安装简单等优点，广泛应用于航空航天、机器人、汽车等高端机械装备的传动装置。但因螺旋齿面齿轮齿面结构复杂，传统的直齿面齿轮展成制齿技术已不能满足螺旋齿面齿轮的加工要求。
面齿轮加工时与普通圆柱齿轮和圆锥齿轮都不同，加工位置是在圆柱毛坯的端面，不在圆柱毛坯的侧面，故只能在专用机床上进行加工，无法直接在现有机床上进行，且因面齿轮齿形比较复杂，齿厚沿齿宽方向不均匀变化，这限制了面齿轮必须采用展成法加工，而不能像普通圆柱齿轮一样采用仿形法加工。因此，自上世纪九十年代，基于圆柱齿轮和面齿轮啮合传动原理，将圆柱齿轮假想为插齿刀具，则直齿面齿轮的插齿过程就相当于圆柱齿轮和面齿轮的啮合传动过程。国内外学者对直齿面齿轮的插齿加工方法、面齿轮插齿装备的制造，啮合性能分析等方面进行了深入的研究，获得了丰富的研究成果，建立了完善的直齿面齿轮设计、分析理论体系和插齿制造工艺技术。后续研究中，将上述插齿刀具作为产形轮，Litvin提出了采用蜗杆滚刀/ 砂轮切削面齿轮的方法，研究了面齿轮蜗杆刀具滚齿/磨齿的原理，通过构建的蜗杆刀具的数学模型，推导了蜗杆刀具能够实现连续滚、磨削加工直齿面齿轮的条件。基于蜗杆刀具加工面齿轮技术，国内外学者围绕数控磨齿机床和刀具的设计制备、蜗杆砂轮修整、切削工艺与检测方法等方面作了比较广泛而细致的研究，获得了大量的理论和实践成果。但蜗杆刀具设计、制造工艺复杂，且不具有通用性, 形成的直齿面齿轮加工的理论和技术，并不能适用于螺旋齿面齿轮齿面展成加工的要求。
齿轮车齿是采用曲面共轭原理成形齿轮齿面的一种啮合加工方法。在齿轮车齿切削中，车齿刀相对于工件齿面做双自由度啮合展成运动，最终共轭包络出齿轮齿面。国内外专家学者对圆柱内齿轮车齿切削原理、机床和车齿刀具设计制造，以及切屑成形机理等基本理论进行了深入的研究，为后续齿轮车齿技术发展、车齿刀具的设计奠定了重要的理论基础。Zhengyang Han等人提出并研究了车齿切削直齿面齿轮的方法，构建了直齿面齿轮车齿切削的理论模型，在六轴联动数控机床上开展了直齿面齿轮车齿实验，并研究了面齿轮车齿中齿面修正方法。
本文在前期车齿法加工螺旋齿面齿轮理论方法研究的基础上，进行车齿法加工螺旋齿面齿轮数控仿真技术的研究，通过构建的螺旋齿面齿轮车齿法的理论加工模型和数控加工模型，推导了螺旋齿面齿轮数控车齿中的两个回转运动和三个直线移动的运动参数。仿真了螺旋齿面齿轮的数控车齿过程，进行了工件切削仿真结果的误差分析，为车齿法数控加工螺旋齿面齿轮奠定了工艺基础。
一、螺旋齿面齿轮理论齿面设计
螺旋齿面齿轮的理论齿面是由工作齿面和过渡齿面两部分组成，如图1所示，其工作齿面由假想的插齿刀齿面包络而成，过渡曲面由插齿刀的齿顶扫略而成。图2给出了插齿加工时假想的插齿刀具与工件之间的运动关系。其中，插齿刀绕其轴线以转速 ωt 转动，螺旋齿面齿轮则绕其轴线以转速 ωc 转动，两转速的关系为，
式中，Nc 和 Nt 分别为面齿轮和假想的插齿刀的齿数，ict为两构件的传动比。
图1 螺旋齿面齿轮齿面结构图
图2 螺旋齿面齿轮插齿加工原理图
设rt(μt，θt)表示在St 坐标系中插齿刀的齿面方程，Mct为插齿刀固联坐标系St 到面齿轮固联坐标系Sc 的齐次坐标变换矩阵，则在Sc 坐标系中，插齿刀齿面扫略出的曲面族方程为：
式中φt为展成过程刀具的转角，θt 和μt 为刀具齿面参数。
根据共轭原理，将式(2)与插齿加工螺旋齿面齿轮啮合方程f(μt，θt，ϕt)联立，即可得螺旋齿面齿轮在坐标系中的工作齿面方程，
螺旋齿面齿轮的过渡齿面由插齿刀齿顶扫略而成，螺旋齿面齿轮在坐标系Sc 中的过渡曲面方程为：
其中，θt* 为刀具齿顶的定值参数。
二、螺旋齿面齿轮理论车齿法建模
建立车齿刀、假想的产形轮与螺旋齿面齿轮的安装布局关系，以及车齿中啮合运动，进而构建螺旋齿面齿轮车齿加工理论模型。
车齿刀、假想的产形轮和螺旋齿面齿轮的安装布局
直齿车齿刀车螺旋齿面齿轮的安装布局如图3所示三个构件在同一瞬时点接触，在接触点处的齿线方向上, 车齿刀具和被切工件之间存在相对运动速度，为了实现车齿的滚插动作，车齿刀具的轴线与产形轮轴线必须空间相互偏斜一个角度γ，这是螺旋齿面齿轮车齿加工得以实现的前提。其中，γ由假想的产形轮的螺旋角β和刀具螺旋角决定。如车齿刀齿是直齿，则车齿刀回转轴线zg与产形轮回转轴线zs空间夹角γ 为，
图3 面齿轮的车齿的理论模型
车齿加工运动分析
运用锥形车齿刀具车削面齿轮的整个过程中，为了车削出面齿轮整个齿面 ∑2 ，车齿刀具相对于面齿轮需做两个相对独立的运动：一是车刀与工件之间的展成运动，即构件2绕其自身轴线z2 以角速度ω2 旋转，同时车刀绕其轴线zs 以角速度ωs 转动；二是车刀沿产形轮轴线的进给运动，即为了车削出整个齿面，车齿刀具回转一个啮合周期后，其中心Os需沿虚拟产形轮的轴线zg平移一个距离lg。因此，车齿螺旋齿面齿轮的过程是车齿刀回转一个啮合周期，刀具中心移动一次，直至切削出面齿轮整个齿面的过程。
车齿中，螺旋齿面齿轮与车齿刀具转动关系为：
式中，N2 为螺旋齿面齿轮齿数，Ns 为车齿刀具齿数。
实际加工时要通过车齿刀具沿螺旋齿面齿轮的径向连续进给才能完成整个齿宽的加工。
图4给出了某切削点处垂直于螺旋齿面齿轮轴向的投影，刀具进给速度沿螺旋齿面齿轮齿线的法线方向会有一个速度分量vs，这等价于车齿刀具在原有转速ωs 基础上增加了一个转速 Δωs，其方向与ωs 相同，大小为：
式中，v是车齿刀具沿螺旋齿面齿轮径向方向的进给速度；β是假想的产形轮的螺旋角；m 是直齿车齿刀的模数。
图4 切削点速度在工件轴向的投影关系
转速增量影响了车齿刀具与螺旋齿面齿轮原有的正确啮合，可以通过车齿刀具或者螺旋齿面齿轮在原有转动基础上附加一个转速以抵消车刀的转速增量 Δωs。若通过刀具附加转速，则附加转速方向应与转速增量方向相反，即 Δωs 符号应取“-”;若通过螺旋齿面齿轮附加转速，则附加转速方向应与转速增量方向相同，即 Δω2 符号应取“+”。本文中将这个附加转速叠加在螺旋齿面齿轮上，其大小为，
此时，螺旋齿面齿轮的转速为，
螺旋齿面齿轮车齿加工坐标系
以假想的产形轮法截面齿廓作为车刀刃形曲线，以假想的产形轮的当量齿轮齿数 Ns 作为车齿刀齿数，经由刀具和工件的两自由度车齿切削作用，可够获得高精度的螺旋齿面齿轮齿面。设车齿刀具切削刃形角度参数为θs，则刀具刃形矢量方程为，
根据车齿刀具、假想的产形轮和面齿轮的安装布局，建立螺旋齿面齿轮车齿加工坐标系如图5所示，坐标系 Ss(Os，xs，ys，zs)、Sg (Og，xg，yg，zg )、S2(O2，x2，y2，z2)分别是与车齿刀具、假想的产形轮、螺旋齿面齿轮相固联的动坐标系，坐标系 Sc(Oc，xc，yc，zc)、Sp (Op，xp，yp，zp )、Sm (Om，xm，ym，zm)分别是与车齿刀具、产形轮、面齿轮相固联的固定坐标系，坐标系Sb(Ob，xb，yb，zb)与机架固定，是辅助坐标系。图中 Egs为车齿刀轴线zs 与产形轮轴线zg 的距离，ras是产形轮齿顶圆半径。
图5 螺旋齿面齿轮车齿加工坐标系
由图5可知，从坐标系Ss 到坐标系S2 的坐标变换矩阵为，
式中，s是车齿刀具沿螺旋齿面齿轮径向方向的进给距离；φs 是车齿刀具绕轴转动的角度，矩阵 M2s表示坐标系Ss 到坐标系Sc 的坐标变换矩阵，其余类推。
车齿刀具刃形曲线经两自由度车削运动，可获得在螺旋齿面齿轮坐标系S2 中的曲面族，其方程r2k表示为，
由包络法可知，车刀刃形与螺旋齿面齿轮包络条件为，
根据包络条件，可将s表示为θs 和φs 的表达式，即
联立式(12)和式(13)即得螺旋齿面齿轮的工作齿面方程为：
三、螺旋齿面齿轮数控车齿各轴运动参数求解
考虑螺旋齿面齿轮车齿中的两自由度展成关系，构建了图6所示的数控车齿模型，在该机床模型中有五个运动轴，即沿 X轴、Y 轴、Z轴三个方向的移动、A 旋转轴(绕 X 轴的转动)和 C旋转轴(绕 Z轴的转动)五个运动轴。其中X移动轴能够实现车齿刀具沿螺旋齿面齿轮轴线方向的进给，Y轴和Z轴的功能类似，既控制起刀点的位置，同时也控制车齿刀具沿螺旋齿面齿轮径向方向的连续进给运动。A轴、C轴分别控制着螺旋齿面齿轮的回转和刀具回转。
图6 螺旋齿面齿轮数控车齿模型
图7为螺旋齿面齿轮数控车齿机床上使用的坐标系，其中坐标系Ss(xs，ys，zs)和S2(x2，y2，z2)分别是与车齿刀具和螺旋齿面齿轮相固联的动坐标系，坐标系Sc(Oc，xc，yc，zc)和Sm (Om，xm，ym，zm)分别是与车齿刀具和螺旋齿面齿轮相固联的固定坐标系，坐标系Sf (xf，yf，zf )是辅助坐标系。坐标系Ss(Os，xs，ys，zs)相对于坐标系Sc(Oc，xc，yc，zc)完成绕轴zc 的回转运动，转角为D1，坐标系S2(x2，y2，z2)相对于坐标系Sm(xm，ym，zm)完成绕轴zm 的回转运动，转角为 D2。其中 D3，D4，D5 为调整机床各参考标架之间初始相对位置的直线移动参数，D6 和 D7 是车齿刀具沿螺旋齿面齿轮径向方向的连续进给运动参数。
图7 数控车齿使用的坐标系统
根据数控车齿坐标系中车齿刀具相对于螺旋齿面齿轮的位置和方向，与在理论坐标系中该工件车齿加工中位矢的对应的关系，有，
式中，L2s(C) 是数控车齿齐次坐标变换矩阵3×3子矩阵；L2s(G) 是理论车齿加工齐次坐标变换矩阵3×3的子矩阵。
车齿刀具相对于螺旋齿面齿轮的位置对应关系可以通过车齿刀具坐标系到螺旋齿面齿轮坐标系的原点位置矢量来保证，即
在数控车齿中，从车齿刀具刀尖到螺旋齿面齿轮车削点的齐次坐标变换矩阵 M2s(C)为，
将M2s(C) 删除最后一行和最后一列，得到3×3矩阵。同样，在螺旋齿面齿轮理论车齿中，由图5得到齐次坐标变换矩阵 M2s(C) 为，
将 M2s(C) 删除最后一行和最后一列，得到 3×3 矩阵L2s(G)。由式(9)可知，变量φ2，s都与变量φs 相关，因此aij (i =1，2，3；j=1，2，3)均是关于变量φs 的函数，数控车齿机床的运动参数为，
四、螺旋齿面齿轮数控车齿加工仿真
在螺旋齿面齿轮数控车齿切削中，工件和刀具分别以一定的角速度绕其回转轴运动，同时刀具沿螺旋齿面齿轮径向方向以一定速度做连续进给运动。按照式(20)编制了数控仿真程序，螺旋齿面齿轮的车齿仿真过程及仿真结果如图8、图9所示。
图8 螺旋齿面齿轮的车齿加工仿真过程
图9 车齿加工得到的螺旋齿面齿轮
将车齿仿真结果与面齿轮的理论设计模型对比分析，获得数控车齿工件的过切和残留，分析结果如图10和图11所示。可以看出，螺旋齿面齿轮车齿仿真齿面和理论齿面不存在过切，但过渡曲面存在少量的欠切现象。通过工作齿面误差数据的定量分析看出，车齿仿真工作齿面和理论设计工作齿面的仅小端齿根部位存在5.6μm 加工误差。
五、结论
在面齿轮车齿加工原理的基础上，开展了螺旋齿面齿轮数控车齿加工仿真技术的研究，建立了数控车齿加工模型，推导了数控机床各轴的运动参数，进行了螺旋齿面齿轮数控车齿仿真,获得的如下结论：
(1)根据螺旋齿面齿轮与斜齿圆柱齿轮啮合传动原理，通过虚拟插齿的方法推导了螺旋齿面齿轮的理论齿面。
(2)根据车齿刀具、假想的产形轮和螺旋齿面齿轮三构件之间的瞬时共轭点接触的啮合关系，构建了螺旋齿面齿轮车齿法加工的理论模型，得到了车齿中刀具和工件二者之间的安装布局规律，并给出了车齿中两构件的展成运动和进给运动。
(3)建立了车齿法成形螺旋齿面齿轮数控加工模型，推导出了螺旋齿面齿轮车齿加工过程中两个回转运动和三个直线移动的运动参数及数控机床各轴的运动关系。
(4)运用 VERICUT进行了螺旋齿面齿轮数控车齿仿真，得到了仅在小端齿根处存有5.6μm 最大误差的高精度螺旋齿面齿轮加工仿真模型，验证了车齿法数控加工螺旋齿面齿轮技术的可行性。
参考文献略.