面齿轮传动于 20 世纪 90 年代开始作为一种传动分汇扭新型方案应用于直升机传动系统当中，相应的面齿轮分汇扭传动主减速器较传统结构质量下降了 40%，且具有动力分流效果好、振动小、噪声低等显著优势。面齿轮作为新型传动系统中的关键部件，制造精度是影响其各项性能的重要指标，在加工制造的过程中，准确的齿形测量结果能有效地指导下一步的反调修正，从而提高加工精度。
在针对零件加工精度的测量时，首先需根据零件设计模型规划测量路径，获取理论测量点在设计坐标系下的坐标及法矢，并根据加工后的零件建立测量坐标系，进行实际测量获取测量点在测量坐标系下的坐标信息，最后采用数据处理算法进行误差分析。理想情况下，如果测量坐标系与设计坐标系重合或误差很小，且测量设备及软件、偶然因素等影响也很小，得出的测量结果能非常准确地反应出加工误差。而实际测量过程中与理想情况下的差别不容忽视，测量机床自身存在的几何误差、测头类型及相应的数据补偿方式、测量软件的误差评价方法都会对测量结果产生影响，除此之外，对测量精度要求很高且几何复杂的齿轮类零件，在不考虑测量设备及软件、偶然性等因素影响的情况下，主要还有以下两个方面引起测量误差。
1)测量坐标系与设计坐标系之间的差异导致的测量误差。
测量过程中需根据实际加工后的零件几何建立测量坐标系，该过程中影响测量坐标系建立的因素众多，使得测量坐标系难以与设计坐标系重合，且测量之前无法获得衡量两者之间关系的信息。在此基础上，实际测量前需根据设计模型进行理论测量路径规划，相应测量点的坐标及法矢信息是在设计坐标系下获得的，而测量时这些信息则是在测量坐标系下使用，由于测量坐标系与设计坐标系之间存在差异，故实际测量路径与理论测量路径存在误差，从而影响测量结果。
2)加工误差引起的测量误差
由于加工误差存在，加工后的齿面相对于原有设计模型是存在误差的，使得相应的实际测量点与理论测量点存在偏差。另外，加工误差的存在同时也影响测量坐标系的建立，进一步影响测量结果。
为满足零件的高精度测量要求，目前已存在较多针对上述两个因素的研究工作，Liu 和 Fang 等基于齿轮测量中心，考虑测量过程中加工误差引起的渐开线斜齿轮角对中误差，提出了一种有效的齿距和齿形的测量误差补偿方法。Shi 等提出了一种基于五轴铣床的螺旋锥齿轮在机测量方法。Li等针对准双曲面齿轮齿面数据测量的局限性，利用误差敏感性分析模型，通过三维测量点重建，得到了描述实际齿面局部微几何特征的真实齿面。Zhang 等针对测量过程中的旋转和加速运动引起的动态测量误差问题，利用加速度计和陀螺仪对测量误差进行补偿;以上研究的相关成果也用在了面齿轮的测量上。
面齿轮的测量设备可以使用齿轮专用测量设备和通用测量设备两类。对于面齿轮专用测量方法，可以采用齿轮测量中心来实现，也可以在三坐标测量机上结合专用的测量软件(如 QUIN ‐ DOS)来实现，上述专用测量方法的测量精度高，但需要配备专用设备或软件。如使用通用测量设备，在三坐标测量机上采用通用测量软件(如 PC‐ DIMS)即可以进行，通用性强，但目前测量精度一般难以保证，需要进一步研究合理的测量方法并开发相关数据处理技术来提高测量精度。
为保证面齿轮三坐标测量方法的测量精度，许多学者开展了相关研究。波音公司 Heath 等首先提出使用坐标测量仪(CMM)对面齿轮齿面进行坐标测量，并将测量区域规划在工作齿面上。北京工业大学的石照耀教授团队考虑了面齿轮设计坐标系和测量坐标系之间的转换误差，研究了测球半径对测量结果的影响规律。齿距偏差方面，中南大学的唐进元教授团队提出面齿轮齿距偏差曲面的相关概念，构建了基于三坐标测量机获得面齿轮齿距偏差曲面的方法。重庆大学的林超等对如何建立面齿轮的测量坐标系进行了研究，提出了一种基于“三二一原理”的面齿轮测量坐标系建立方法。
现有的面齿轮测量方面的研究已取得一定成果，但在某些情况下还存在一些局限性，尤其是对以下两个方面的研究还有待深入。
1)面齿轮测量坐标系与设计坐标系之间关系数学模型的精确求解。
根据坐标变换原理，测量坐标系与设计坐标 系之间的关系可以表示为包含 5 个未知量的坐标变换相关的数学模型，并可以进一步根据测量结果来求解该数学模型。该求解过程为复杂的全局优化问题求解，求解结果不但对初始值非常敏感，而且存在多解，且很可能实际要找的解并非全局最优解，故容易出现噪声解。面齿轮齿面复杂，根据传统方法建立的测量坐标系与设计坐标系还存在较大偏差，使得相应优化问题的初值不理想。此外，目前也无相关研究来指导如何避免该优化 问题的噪声解。
2)测量坐标系与设计坐标系的差异及加工误差对测量结果的影响相互耦合，目前还缺乏同时考虑这两个因素对测量结果影响的研究工作。
针对上述两个问题，本文提出了相应解决方案，主要思路包含下述 3 点：
1)鉴于加工误差的客观存在，在建立测量坐标系的过程中，综合考虑面齿轮的几何特点及其相应加工误差，尽可能将测量坐标系接近设计坐标系，从而为求解测量坐标系与设计坐标系之间关系的数学模型提供良好的初值。
2)根据加工误差约束测量坐标系与设计坐标系之间关系的数学模型，有效地缩小解集空间，从而尽量避免噪声解。
3)在获得测量坐标系与设计坐标系之间关系的基础上，进一步分析加工误差对测量结果的影响，并由此补偿加工误差引起的测量误差。
一、测量路径规划
面齿轮齿面方程及法矢：面齿轮齿面几何一般根据面齿轮的产形原理进行设计，考虑面齿轮与小轮的啮合过程，将小轮替换为一个少齿数的产形轮，面齿轮齿面则由该产形轮齿面在啮合过程中包络形成。以正交直齿面齿轮为例，产形轮(或小轮)与面齿轮啮合的相对位置关系如图 1 所示，其中产形轮轴线与面齿轮轴线相交于一点，且产形轮和面齿轮在啮合过程中分别以角速度 ωs、ω2旋转角度 φs、φ2。根据产形轮齿面方程和相应的啮合过程，可得面齿轮齿面方程
其中 θs 为产形轮齿廓线的参变量。根据齿面方程，对应齿面点法矢可表示为
图 1 面齿轮副空间啮合
待测区域规划：在面齿轮齿形误差的评价过程中，应选取合适的齿面区域进行测量。首先，为了避免测球在齿顶边缘和齿根处发生干涉，测量齿面时在边界处需要预留出一定的空间。其次，考虑面齿轮过渡区域不直接参与啮合传动，为了更好地分析测量结果，面齿轮齿形误差评价范围以工作齿面为对象。在上述两点考虑的基础上，参照螺旋锥齿轮的齿形误差测量方法，测量区域 ABCD 规划如图 2 所示，齿宽方向各向内收缩 10%;齿顶向下收缩 5%，过渡曲线向上收缩 5%；其中 Wh为面齿轮齿宽，Hv表示工作区域对应齿宽处的截面线在面齿轮轴线上的投影。测量区域密度为 9×5 的网格点，即在齿宽方向取 9 个网格点，齿高方向上取 5 个网格点。
图 2 面齿轮齿面网格示意图
测量点坐标求解：要实现对面齿轮测量路径的规划，还需求得待测区域网格点的理论坐标。为此，构建面齿轮齿槽中心平面 ZOR，如图 3 所示，待测区域网格点与平面 ZOR 上的点存在一一对应的关系，以齿面上某一待测网格点 Pt 为例，其绕面齿轮轴线 Z 旋转的轨迹与平面 ZOR 的唯一交点为点 P，相应地称该一一对应的关系为旋转投影关系。
图 3 待测区域投影平面
对应地，面齿轮齿面在 ZOR 上的旋转投影为 Σ，待测区域 ABCD 在平面 ZOR 上的旋转投影为 A′B′C′D′，曲线 Ct为过渡曲线在 ZOR 上的旋转投影。假设面齿轮内半径为 Ri，外半径为 Ro，在图 3 所示的 ZOR 坐标系内，投影区域 A′B′C′D′边缘点 A′、B′的 r 坐标 rmin为
边缘点 D′、C′的 r 坐标 rmax为
在OR 轴的[rmin，rmax]区间上规划 9 个等距节点 ri( i=1，2，…，9)，使得
根据过渡曲线形成原理，结合齿面方程(式(1))，过渡曲线上半径 ri处的点 r(θsmax,φi )满足
其中 θsmax为产形轮齿顶对应的展角，是已知常数。据此求解式(6)可得 φi，再将 θsmax、φi 代入式(1), 可得过渡曲线在 ri处 Z 坐标 zri 为
Ct为齿面过渡曲线绕 Z 轴旋转投影得到，故曲线 Ct上所有点在 ZOR 平面上的 Z 坐标与过渡曲线上对应点的 Z 坐标相等，令投影区域在 Ri处的 Z 坐标上下限 zriu 、zril 为
式(8)、式(9)中 zA 为面齿轮齿顶在 ZOR 坐 标系内的 Z 坐标值，这样在投影区域 A′B′C′D′内，每一个 ri对应着一对上下限 zriu、zril，如图 3 所示。
相应的在区间[ zriu ,zril ]上规划 5 个等距节点 zj(j=1，2，…，5)，使得
结合式(5)和式(10)，投影区域 A′B′C′D′内的 9×5 个网格点坐标可表示为 P(ri，zj )。根据旋转投影的原理，投影网格点 P 与待测齿面网格点 Pt ( θs，φ2 )之间存在对应关系如下：
已知参数 ri和 zj，求解式(11)对应的参数 θs、 φ2，具体求解过程可以参考文献，再结合式(2)可求得齿面网格点 Pt 及其法矢 nt，故网格点理论坐标及法矢可表示为关于参数 ri、zj的矢量函数 Pt( ri，zj )和 nt( ri，zj )。
二、测量坐标系的建立
测量坐标系建立策略：以面齿轮设计坐标系作为理想测量坐标系，齿面网格中心点为设计坐标系的角向定位基准，假设面齿轮设计坐标系 Sd如图 4 所示，坐标原点 Od与上端面圆心重合，Zd轴与面齿轮轴线共线，远离上端面的方向为正，Yd 方向为网格中心点 Pt( r5，z3 )与 Zd轴确定的平面的法矢，Xd根据笛卡儿右手法则确定。
图 4 面齿轮设计坐标系
定义理想的测量坐标系之后，需进一步建立测量坐标系与实际零件之间的关系，由于该坐标系通常与理想的测量坐标系有所差异，称之为实际测量坐标系。一般地，可通过测量零件特征元素上各个实际点的坐标，并进行相应的数学处理，从而建立工件实际摆放位置与测量坐标系之间的对应关系，即获得了实际测量坐标系。对于面齿轮齿面来说，网格中心点 Pt( r5，z3 )并不是突出的特征元素，在确定测量坐标系角向定位基准的过程中，很难准确地在实际齿面上触碰到该点，存在一定程度的偶然性;选取的测量基准与设计基准位置的差异将会导致测量坐标系与设计坐标系不重合，影响测量结果的准确性。
为了减小制造误差及选取基准时的偶然性对测量坐标系的影响，本文基于以下两点策略建立测量坐标系，使得建立的实际测量坐标系尽可能接近理想的测量坐标系(即设计坐标系)：
1)考虑面齿轮齿坯外圆和齿顶端面的公差， 确定测量坐标系的原点 Om和 Zm轴；
2)基于迭代思想确定测量坐标系的 Xm轴。
测量坐标系原点 Om 及 Zm 轴确定：采用通用测量软件进行测量时，系统存在一个初始坐标系 O⁃XYZ，在该坐标系下逐次触测面齿轮顶面区域的点，根据平面拟合的原理，当测量点到达一定数目时，用最小二乘的方式将测点拟合成一平面 F，并随着测点的增加逐次更新 F；当 F 随着触点的增加，其所表现出来的平面度在图纸规定的平面度公差范围内跳动时，提取 F 的法矢作为测量坐标系 Zm轴所在的方向，如图 5(a)所示。平面 F 在 O‐XYZ 坐标系下可表示为
图 5 Om位置和 Zm方向确定
Zm轴方向确定后，测针触测外圆同一高度上的点，如图 5(b)所示。当测量点个数达到一定数目时，采用最小二乘的方式将测点拟合为圆 G，并随着测点的增加逐次更新 G；当 G 的圆度在公差规定的范围内趋于稳定时，提取圆心坐标 OG(xG， yG，zG)，此时将测量坐标系的原点 Om (xm，ym，zm) 定义为
测量坐标系 Xm轴的确定：定义测量坐标系原点 Om 和 Zm 轴后，尚未确定的 Xm轴、Ym轴方向仍为系统初始的 X、Y 方向。如图 6 所示，在该坐标系下，将测针大致触测网格中心点 Pt( r5，z3 )附近区域，获得测点 P0的三坐标测量值(xP0 ，yP0 ，zP0 )，根据式(14)、式(15)将其转换成柱坐标形式(RP0 ，βP0 ，zP0 )。
图 6 粗建测量坐标系
其中 RP0 为 点 P0 所在的半径位置，βP0 为 点 P0 的极角。
获得 P0与初始 X 轴之间的转角 βP0 之后，将坐标系 Om ‐XYZm绕 Zm轴旋转 βP0 角，使得 XOmZm平面经过 P0点，便于后文描述，将旋转之后的测量坐标系定义为 S0，此时 S0 的 X 轴方向定义为 Xm 轴，Y 轴的方向定义为 Ym轴。对于面齿轮齿面来说，点 Pt(r5，z3 )并不是特征元素，测量时无法保证测点 P0就是理论网格中心点 Pt( r5，z3 )，那么以 P0 为角向定位基准粗略建立的测量坐标系就会与设计坐标系之间存在偶然性偏差。
为避免这一问题，使角向定位基准点较为准确地落在面齿轮理论网格中心上，采用一种迭代寻找齿面网格中心点确定测量坐标系 Xm方向的方法。具体步骤如下：
1)根据建立的理想测量坐标系(如图 4 所示)，求得理论网格中心点 Pt( r5，z3 )的柱坐标(R，O，Z)，及该点的法矢量 nt( r5，z3 )。
2)在坐标系 Sk( k 初始值为 0)下沿理论法矢 nt( r5，z3 )触测点 Pt(r5，z3 )，输出极坐标形式的测量结果(Rk，βk，Zk );
3)比较该点的测量半径 Rk与理论半径 Rt；若满足精度要求|Rk-Rt|≤ε，输出坐标系 Sk作为后续测量齿面的精确坐标系;若不满足精度要求 |Rk-Rt|≤ε，则将坐标系 Sk绕 Zk轴旋转 βk角度，旋转后的坐标系定义为 Sk+1，且令 k=k+1，跳转执行步骤 2)。
相应的流程如图 7 所示。
图 7 迭代建立测量坐标系