测量坐标系误差补偿及齿面位置匹配：为了便于描述，本文将设计坐标系下 9×5 的理论点 Pt( ri，zj )及法矢 nt( ri，zj )简写为 Pij和 Nij，对应的测量数据为 Qij；其中 i=1，…，9；j=1，…，5。
根据文中第2节叙述的迭代方法，以|Rk-Rt|≤ ε 为条件退出迭代过程，较为准确地寻找到了实际齿面在半径 R 处的点作为 Xm方向的定位基准，从而降低了测量坐标系建立过程中的偶然性。此时如果齿面完全理想，那么结束迭代时，在 Sk坐标系下，网格中心点的角度值 βk应该非常接近 0；然而在实际测量过程中发现，在齿面半径为 R，高度为 Z 处的点(实际齿面网格中心)由于制造误差的存在，其角度测量值 βk与 0 之间有一定差距。这一现象表明，以该点为角向定位基准建立的测量坐标系包含了该点的制造误差，从而体现在测量值 βk上，因此在面齿轮测量坐标系平面和轴向定位准确的情况下，可以认为测量坐标系与设计坐标系之间存在绕 Zm的角度偏转，并且该角度接近 βk。如图 8(a)所示，其中 Sd为设计坐标系，Sk为最终建立的测量坐标系。
图 8 测量数据与理论数据之间的关系
为了减小测量坐标系与设计坐标系不重合带来的测量误差，提取测量网格中心点 Q53 柱坐标 (Rk，βk，Zk )中的角度坐标 βk，将理论网格 Pij与法向量 Nij绕 Zk轴旋转 βk角度转换为新的理论网格 Pij' 及法矢 Nij' ，从而将理论数据和测量数据统一到同一坐标系下，如图 8(b)所示。以旋转后的网格作为评价齿形误差的新理论网格。Pij ' 、Nij ' 可由式 (16)、式(17)求得
通过旋转理论网格的位置，补偿了由于测量基准制造误差而引起的测量坐标系误差。对于整个测量网格 Qij而言，所有点都是在有误差的测量坐标系下测量的，虽然都在实际齿面上，然而这些点由于测量坐标系偏差会与理论齿面测量区域之间存在一定的扭转错位，如图 9 所示。为提高测量结果的可靠度，在利用测量点得出误差数据之前，应将测量网格与理论网格进行位置匹配。而该策略的基本要求是应避免测量数据失真，能反映最真实的齿面误差。因此测量数据匹配的任务可以表示为：给定参考点阵(理论齿面)Pij ' 和待匹配的测量点阵 Qij，假定两点阵已经非常接近，求 Qij的一个变换 Qij' ，使得 Q ij' 与 Qij 最大程度地重合。本文采用两点阵各点之间的法向距离平方和作为评判重合度大小的依据。
图 9 曲面位置匹配
假设待匹配的测量点阵 Qij与匹配后点阵 Q'ij 的位置关系用 3 个平移量 x、y、z 以及绕 Z 轴和 X 轴的两个旋转量 φ、θ 来表示，变换后的测量数据 Q'ij经位置匹配后的坐标由式(18)确定。
其中
为此构造目标函数
其中
考察目标函数(式(22))中的 5 个优化变量，运用本文第 2 节描述的方法建立测量坐标系的过程中，保证了测量点阵与理论点阵之间的 3 个偏移量 x、y、z 在一个接近 0 的微小区间内，事实上针对式(22)中 5 个变量进行无约束优化模型求解时，得到的结果在数学上虽为全局最优，但没有反映齿面真实的情况，详细讨论见实验部分。
结合实际，为了不使测量点失真，对 3 个偏移量 x、y、z 施加如下约束：
式(24)中，偏移量 x、y 的上下边界可由面齿轮齿坯的同轴度公差确定，偏移量 z 的上下边界可由齿顶平面度公差确定。目标函数(式(22))另外两个参数 φ、θ0的约束条件为
利用优化算法求解满足条件的最优解 φ* 、θ* 、 x* 、y* 、z * ，将其代入到式(18)，获得位置匹配后的测量点阵 Q'ij。
实测点误差补偿：如图 10 所示，使用三坐标测量机进行测量时，给定的测量指令是测针沿 P' 的法矢 N ' 方向去触测实际齿面，由于加工误差导致待测点附近的曲率变化较大以及测球半径的影响，测球在沿理论点法矢 N' 移动的过程中，往往未到达指定位置 Q" 时就已经触测到 Q' ，这导致实际测量点 Q' 没有在理论点 P' 的法向上，此时测头显示的示值为 Q' 点相关的坐标信息，从而产生测量偏差 εm，使得测量结果不能真实地反映齿面误差规律，继而影响齿面后续的加工反调等工艺。
图 10 测量误差示意图
为尽可能地避免制造误差引起的测量偏差 εm，本研究将测量网格重构成 NURBS(non ‐ uni‐ form rational B ‐splines)曲面，采用相关的优化算法在该曲面上寻找 P' 对应的理想的测量点 Q" 的坐标，具体步骤如下。
1)将位置匹配后的测量点阵 Q'ij 拟合成 NURBS 曲面 Rm(u，v)，其中 u、v 为齿宽和齿高两个方向上的参数。每一个有序数对(i，j)对应一组(ui，vj )。
2)对于理论齿面上的某一点 P'ij ，构造优化目标如下：
运用优化算法，以(ui，vj )为初值在曲面 Rm ( u，v ) 上搜索 Q"ij 对应的参数(u*i，v*j )，故点 Q"ij 可表示成如下形式：
3)将补偿后的测量点 Q"ij与对应的理论点 P'ij比较获得齿面偏差
四、测量实验
实验设备及对象：实验采用装有 SP600M 线性测头的海克斯康 STATUS575 型的三坐标测量机(如图 11 所示)以及克林贝格 P65 的齿轮测量中心(如图 12 所示);结合通用测量软件 PC ‐DIMS 和专用测量软件QUINDOS 对齿面进行测量。测量对象为 6 级精度(参照锥齿轮标准 GB11365‐2019)的直齿面齿轮。
实验方法及测量结果：为验证本文所提出方法的合理性，设计实验步骤如下：
1)基于三坐标测量机结合通用测量软件 PC‐DMIS，分别采用常规方法和本文方法建立测量坐标系对同一齿面进行测量，分别获得采用常规方法建立的坐标系下的原始坐标数据和采用本文方法建立的坐标系下的原始坐标数据，结果如图 13 所示。
图 13 齿面 1 测量结果(单位：μm)
2)将常规方法获得的原始坐标数据与理论坐标数据对比获得法向偏差，结果如图13(a)所示;将本方法获得的原始坐标数据采用本文提出的补偿方法，获得齿面偏差如图 13(c)所示。
3)针对本文第 3.1 节中讨论的无约束优化模型，本文做了 1 组对比实验，即将本文方法中的位置匹配参数约束条件(式(24))更改为实数范围，其余保持不变，所得测量结果如图 13(b)所示。
4)最后，为了验证本文测量方法是否有效，基于齿轮测量中心结合专用测量软件 QUIN ‐ DOS 对该齿面进行第 3 次测量，获得结果如图13(d)所示，将该结果作为检验本文方法是否有效的标准。
5)为了避免偶然性，本实验针对两组不同的齿面进行了上述测量操作，所得齿面 2 测量结果如图 14 所示。
图 14 齿面 2 测量结果(单位：μm)
实验结果分析：将基于三坐标测量机的不同测量方法获得的 3 组齿面测量结果与齿轮测量中心获得的结果对比，获得表 1、表 2 所示的统计数据，包括：
1)三坐标测量结果与齿轮测量中心结果对应点之间的最大测量偏差值。
2)三坐标测量结果与齿轮测量中心结果 9× 5 个点的相对偏差平方和。
3)三坐标测量结果以及齿轮测量中心结果的绝对误差平方和。
4)本文方法建立的测量坐标系与齿轮测量中心测量坐标系之间的位置误差。
对应点之间的最大测量偏差是从单个点的层面反映不同方法的测量结果之间的吻合性。据表 1、表 2 可知，本文方法相比于常规方法和无约束优化方法该项结果均为最小。从单个点的测量偏差层面验证了本文提出的误差补偿方法能有效地减小测量偏差。
相对偏差平方和反映的是不同方法的测量结果之间的整体吻合程度。据表 1、表 2 可知，本文方法所得测量结果与齿轮测量中心结果之间的相对偏差平方和小于无约束优化方法和常规方法，这表明就整体测量结果而言，本文提出的三坐标测量方法获得的测量结果更接近真实齿面。
分析本文方法与常规方法所得到的误差曲面的趋势发现，由于常规方法建立测量坐标系时难以确定角向定位基准，建立的测量坐标系与设计坐标系之间存在较大误差(3 个位移误差 x* 、y* 、z * )，使得测量所得齿面(图 13(a)和图 14(a))呈现出绕齿宽方向的扭转趋势较为明显;而本文基于迭代思想建立测量坐标系，并采用合理的误差补偿方法获得的齿面与真实齿面的趋势较为一致，这一结果表明，测量坐标系建立得准确与否，会直接影响测量结果的可靠性。
针对文中第 3.1 节中讨论的无约束优化模型对测量齿面与理论齿面进行位置匹配，根据表 1、表 2 数据，该补偿方法测量结果的绝对误差平方和虽小于本文方法测量数据的绝对误差平方和，但是其与齿轮测量中心所得的测量结果之间的相对偏差平方和要大于本文方法与齿轮测量中心结果之间的相对偏差平方和，从而验证了无约束优化模型得到的解在数学上虽为最优(即齿面误差数值上最小)，但是不一定能反映齿面的真实情况。
五、结论
1)提出了一种考虑齿坯端面和外圆公差来确定测量坐标系原点和 Z 轴、以待测网格中心为基准迭代确定 X 轴的测量坐标系建立方法，相比于常规的测量方法，该方法能有效地减小测量坐标系的位置误差。
2)根据测量坐标系建立的原理，通过约束测量坐标系与设计坐标系之间关系的数学模型来补偿测量坐标系误差;利用实测点的位置信息，构造优化模型，寻找与待测点相匹配的实际齿面点的方式补偿加工误差带来的测量误差，获得的测量结果更接近真实齿面。
参考文献略.