谐波齿轮减速器具有体积小、速比大、承载能力强、定位精度和重复定位精度高等优点，已被广泛应用于航空航天、机器人及通用机械等高端精密技术领域。鉴于其精密传动特性，在谐波齿轮减速器制造过程中必须严格保证各部件的精度和质量，以使成品传动性能满足设计要求。谐波齿轮由刚轮、柔轮和波发生器 3 个构件组成，渐开线齿廓谐波齿轮柔轮为大变位薄壁齿轮，大变位齿轮滚齿加工具有一定特殊性，标准滚刀加工大变位齿轮极易产生大的加工误差，而高精度柔轮又是保证谐波齿轮接近于零侧隙啮合精密传动的关键。目前，对谐波齿轮柔轮齿廓设计展开了较多研究，对如何高精度加工制造柔轮研究较少，尤其是对这种大变位柔轮滚齿误差成形机理、轮齿几何精度与刀具参数、加工工艺参数之间的关系少有文献涉及。
目前，国内外对于滚齿数值仿真，刀具误差、工件与刀具之间的位置误差及加工工艺参数等对滚齿精度的影响都进行了相应研究。张荣闯等基于滚齿加工运动矢量模型结合 UG 的二次开发模拟滚齿切削获得精确的齿轮三维模型。史勇等对斜齿非圆齿轮四轴联动和五轴联动数控滚齿的加工过程进行仿真，得到了齿轮准确的三维模型。李学艺等依据通用滚刀切削面参数方程建立了渐开线圆柱齿轮精确齿面模型。Matsuo 等分析了滚齿过程中工件与滚刀之间的位置精度对轮齿精度的影响。Deng 等建立仿真模型研究了滚刀与工件之间的位姿偏差对齿面几何精度的影响。Sun 等建立了预测滚齿几何偏差和优化滚齿工艺参数的模型，通过优化使几何偏差最小化而提高齿轮加工精度。Song 等研究了刀具及工件径向跳动误差和插齿工艺参数对谐波减速器精度的影响。
国内也有相关文献涉及大变位齿轮加工，主要是对标准滚刀加工大变位齿轮过程中产生误差而无法进行啮合传动的现象及误差产生原因进行简单分析，没有计算具体加工误差值及对滚刀参数、加工工艺参数与该误差值的关系进行分析，这种齿轮主要集中在水泥生产厂家、矿山机械等应用场合的大模数大直径齿轮。渐开线齿廓谐波齿轮柔轮为大变位小模数齿轮，常用变位系数约为 3，且其用于精密传动场合，对齿面加工精度的要求更高，误差的产生机理也与大模数齿轮的有所区别。
文中开展大变位齿轮滚齿加工仿真及齿面理论加工误差评价研究，建立变位齿轮滚切空间成形模型和齿面理论加工误差评价模型。基于所建立模型开展加工误差的仿真计算，并对仿真结果进行试验验证。采用仿真计算精确分析大变位柔轮齿面理论加工误差值及产生原因，并提出改进措施，较大幅度地减小误差值，以改善大变位柔轮滚齿精度。
一、滚齿仿真及加工误差评价
滚刀切削刃参数方程
图 1 所示为阿基米德滚刀基本蜗杆轴向齿形。O1 -X1Y1 为滚刀坐标系，其 X1 轴与滚刀轴线重合，Y1 轴平分轴向齿形。轴向齿形齿顶高 ha1 = 1. 35 mn ，齿根高 hf1 =mn，mn 为滚刀的法向模数。
图 1 滚刀轴向齿形
在滚刀坐标系中，以滚刀轴向齿形的 X1 轴坐标值为参数变量 s，则该齿形可表示为：
式中：Y1(s)——轴向齿形在坐标系 O1 -X1Y1 中的 Y1 轴坐标值，
rh———滚刀分度圆半径;
Pa———滚刀轴向齿距;
αx———滚刀轴向压力角;
Dh———滚刀外径;
rc———滚刀齿顶圆弧半径。
x2 ，x3 和 x4 为滚刀轴向齿形上 2，3 和 4 号点在滚刀坐标系中 X1 轴上的坐标，且有：
轴向齿形绕滚刀轴线规则螺旋分布形成滚刀系列切削刃，绕 X1 轴按右手法则旋转方向对各切削刃进行编号，编号号码记为 k，沿正向依次为 1，2，…，负向为 -1，-2，…。k 号切削刃可表达为：
式中:
ZL——滚刀容屑槽数;
P1(s) ——滚刀轴向齿形;
γs——螺旋升角，右旋滚刀 γs 取正值，左旋滚刀 γs 取负值。
变位齿轮滚切成形数学模型
滚齿切削过程中滚刀与工件的相对位置和空间运动关系如图 2 所示。
图 2 滚刀与工件的相对位置及空间运动关系示意图
图 2 中，O1 -X1Y1Z1 为滚刀坐标系，其与滚刀固连，在加工过程中绕 X2 轴回转，O2 -X2Y2Z2 为滚刀安装坐标系，其相对于滚刀参考坐标系 O3 -X3Y3Z3 绕 Y3 轴旋转一个滚刀安装角 γi；O4 -X4Y4Z4 为工件参考坐标系，其与滚刀参考坐标系 O3 -X3Y3Z3 相互平行，O5 - X5Y5Z5 为工件坐标系与被加工齿轮固连，在滚齿过程中按一定传动比随滚刀联动绕Z4轴回转。O6 - X6Y6Z6 为机床固定坐标系，滚刀的径向进给、轴向进给均在该坐标系里描述坐标。
滚刀径向安装距离：
式中：x——齿轮的变位系数;
rg——齿轮分度圆半径。
滚刀轴向进给量 μ 为其旋转角 φ 的函数：
式中：±——顺铣时取“+”,逆铣时取“–”;
N——滚刀头数;
z——齿轮齿数;
f——工件回转 1 周滚刀轴向的进给量。
谐波齿轮柔轮为渐开线直齿轮，滚齿加工时工件旋转角 ψ 为滚刀回转角 φ 的函数：
滚刀系列切削刃在工件坐标 O5 -X5Y5Z5 中形成空间轨迹曲面族，包络出齿轮齿面。各切削刃空间轨迹曲面的齐次坐标为：
齿轮理论齿面参数化模型
渐开线直齿轮齿槽面可由其端面上渐开线沿齿轮轴线平移形成，形成齿槽面的端面渐开线可由起点在 Y 轴(Y 轴平分齿槽)上的两条标准渐开线绕齿轮轴线向相反方向旋转一角度获得。齿轮各个齿槽的几何形状相同并在圆周上均匀分布，相邻齿槽的相位差角为 Δ = 2π / z，用 0，…，i，…，z-1( z 为齿数) 对各齿槽编号，则各齿槽面的齐次坐标方程为：
基于微分几何原理，过齿面某点的齿向向量和齿形向量的叉乘，可求得该点处齿面法向量：
滚齿加工过程仿真
采用 MATLAB 软件编制程序进行滚齿加工仿真计算。进行滚齿仿真时，计算出齿轮理论齿面上各网格点的坐标值及法向量;根据滚齿时坐标转化关系将滚刀系列切削刃方程在齿轮坐标系中表达;进行滚齿切削仿真计算求出理论齿面上网格点的法线与各切削轨迹的交点,求所有交点到该网格点的距离，并取距离值最小的交点作为加工形成的实际齿面点。对理论齿面进行上述仿真计算，即可得出滚齿加工形成的齿轮相应实际齿面。图 3 所示为仿真计算获得的齿轮理论齿面及滚刀切削加工示意图。
图 3 滚齿加工仿真示意图
轮齿齿面误差评定
将理论齿面 Fi(θ，w) 的参数 θ 和 w 在其取值的范围内进行离散，形成网格密度为 m × n 的理论齿面网格点，其中的某一点可以计为 Fi(θm，wn )，其对应的法向量计为 ni(θm，wn )。图 4 所示为齿面误差计算示意图。
图 4 齿面误差计算示意图
计算点 Fi(θm，wn )到包络齿形的各个切削刃空间轨迹曲面的法向距离，即该点到其法线与切削刃轨迹交点的距离，最小距离即为该点的齿面误差值 δi(θm，wn )，且偏离方向与该点法向量 ni(θm，wn )方向一致的误差值计为正，否则计为负。对齿面上的网格点进行仿真计算获得相应齿面的误差值，采用插值方法对所有的误差值进行二元拟合，得到齿面误差函数 δi(θm，wn )。
对齿面误差函数 δi(θ，w) 进行单参数变化取值可分别获得齿面、齿形和齿向误差，当参数 w 确定后，参数 θ 在齿廓评定范围对应的展开角内连续取值，得到轮齿齿形误差；当参数 θ 确定后，参数 w 在齿向评定范围内连续取值，得到轮齿齿向误差。
二、齿面加工误差仿真的试验验证
对变位系数为 0 和 3 的两个齿轮分别进行加工，采用三坐标测量机测量被加工齿轮的齿面误差，并与齿面误差的仿真计算结果进行比较。被加工齿轮的主要技术参数如表 1 所示，相应滚刀的主要技术参数如表 2 所示。
滚齿误差仿真计算
采用有效切削刃为 63 齿的滚刀进行滚齿加工仿真，滚刀居中安装，中间切削刃定义为 0 号切削刃，两侧分别有-31 和 31 号切削刃能投入滚齿切削。后述滚齿加工的滚刀安装方式与此相同。
按照表 1 及表 2 中给定的齿轮及滚刀主要参数对滚齿进行仿真及计算，求出齿面加工的理论误差值。
滚齿加工及齿面误差测量
采用数控滚齿机对齿坯进行滚齿加工,滚刀转速为 450 r/ min，滚刀轴向进给量为 1. 5 mm / r。
将被测齿轮装夹于三坐标测量机，建立与理论齿面网格点计算坐标系相同的测量坐标系，将理论齿面网格点的坐标值及其法向量导入三坐标测量机，以网格点作为被测目标点规划测量轨迹。三坐标测量机测针沿着被测目标点的法矢方向靠近齿面进行测量，所得测量结果即为理论齿面网格点对应的实际加工齿面点坐标值，求出实际测量点与对应理论齿面网格点的距离，即为该点齿面误差。
测量结果与仿真结果对比
齿形误差比较：图 5 所示为齿形误差实测值与仿真结果对比。为方便实际测量,在齿根圆半径增加 0. 5 mm、齿顶圆半径减小 0. 2 mm 的轮齿半径范围内进行齿形误差评定。
图 5 实测与仿真计算齿形误差比较
图 5 中各齿槽面的齿形误差均在齿轮同一齿宽的位置进行测量和仿真计算，即齿面误差函数 δ i(θ，w) 中参数 w 的取值相同。图 5 中零误差线的右侧误差为正，左侧误差为负。
如图 5a 所示，标准齿轮 40 号齿槽面实测和仿真齿形误差均整体偏大，各齿槽面仿真与测量齿形误差值十分相近且吻合较好，实际加工和测量过程中的多种因素使得测量结果略偏大。如图 5b 所示，大变位齿轮在计算齿宽位置处，1 号和 75 号齿槽面实测和仿真计算齿形误差均整体偏大，且各齿槽面仿真结果与测量结果的误差形态也吻合较好。
齿向误差比较：图 6 所示为右侧齿槽面齿向误差仿真与实测结果比较。图中描述了第 1 号、40 号和 75 号齿槽面齿向误差，仿真与测量结果均呈现出明显波浪形状，误差形态十分相近并吻合较好。各齿向误差均在同一半径处，对齿宽参数按要求取值进行仿真计算和测量。齿槽左侧齿面齿向误差与图 6 所示相近。
图 6 齿槽右侧齿面齿向误差仿真与实测对比
通过对大变位齿轮和标准齿轮多个轮齿左、右齿槽面齿形、齿向误差进行测量和仿真计算，发现仿真计算结果与实测结果吻合较好，从而证实了上述基于所建立模型对齿轮齿面理论加工误差值仿真计算的正确性。通过实测与仿真计算也发现：用标准滚刀加工大变位齿轮相较于加工标准渐开线齿轮，当标准滚刀长度足够的话，齿面齿形误差与齿向误差并未有明显变化。
三、大变位柔轮滚齿误差分析
滚齿误差仿真计算及分析
以常见的渐开线齿廓谐波齿轮柔轮为例进行滚齿误差仿真计算，大变位柔轮及滚刀的主要几何参数分别如表 3 和表 4 所示，滚刀为标准长度,取有效切削刀刃为 73 个。滚齿仿真过程中，滚刀轴向进给量 f 取值为 1. 5 mm / r。
滚齿误差仿真计算：
图 7 所示为仿真计算出的柔轮 0 号齿槽右侧齿面拓扑误差图。
图 7 齿槽右侧面齿面误差
图 7 中 X 轴为齿宽方向，Y 轴为齿廓方向，Z 轴显示的为齿面误差值，其反映理论加工齿面与标准齿面之间的法向偏差。由图 7 可见，齿向误差沿着齿宽方向呈波浪形变化，由于滚齿切削时滚刀轴向进给取值较大，产生的齿向误差值也大。另外，齿面齿形误差沿轮齿齿廓方向靠近齿顶处明显增大。
产生较大齿形误差原因分析：参照表 3 和表 4 给出的柔轮和滚刀主要参数进行滚齿加工仿真，对靠齿顶处产生较大误差的原因进行分析。图 8 所示为齿轮滚齿加工仿真俯视图，图 8 中的齿槽轮廓为理论计算得出的标准齿廓，红色曲线代表滚刀切削刃。
图 8 齿轮滚齿仿真示意图
由图 8a 可知，标准齿轮加工时滚刀 0 号切削刃几乎与齿槽轮廓重合(齿数较多渐开线齿廓几乎为直线)，齿槽最终轮廓由 0 号及其附近较少滚刀切削刃滚切出来。由图 8b 可知，大变位齿轮加工时齿槽正中央的 0 号切削刃对最终齿槽轮廓起不到切削作用。图中齿槽左侧面由右边刀刃号为负的切削刃滚切出来，右侧齿面由左边切削刃加工出来。滚刀有效切削刃较少会在靠齿顶处存在切削不足，如图中局部放大视图所示，距中间较远的 36，-36 号切削刃在齿顶处也产生较大切削误差。
经仿真计算可得出消除该现象所需滚刀最小长度对应的刀刃号。表 5 所示为 0 号齿槽齿顶处不存在切削不足时，需要滚刀最小长度对应的刀刃号，其中，直径代表计算点在轮齿齿廓上的位置。
表 5 所需滚刀最小长度对应的刀刃号
由表 5 可知，在齿顶圆处左、右齿槽面分别对应 41 号和-41 号刀刃，包含 0 号切削刃在内，滚刀最小长度对应的有效刀刃为 83 个。
图 9 所示为轮齿完全切削所需滚刀最小长度对应的有效切削刃个数与变位系数的关系，参照表 3、表 4 给出的柔轮及滚刀参数计算得出。
图 9 滚刀有效刀刃数与齿轮变位系数关系
由图 9 可知，随着变位系数的增大，为避免滚齿加工时因齿顶切削不足而产生大的加工误差，滚刀最小长度对应的有效刀刃数明显增加。
滚齿齿向误差分析：对于单个齿面而言，滚齿过程中滚刀沿齿宽方向不是连续进给而是间断性的，在滚刀进给位置处会产生最小齿面加工误差，在相邻两进给位置中间处会产生最大齿面加工误差。
图 10 所示为轴向进给量 f 为 1. 5，1，0. 5 mm / r 时齿向误差仿真结果。由图 10 可知，在不同轴向进给量下齿向误差值变化明显，轴向进给量为 1. 5 mm / r 时，误差最大值为 5. 4 μm 左右;轴向进给量为 0. 5 mm / r 时，误差最大值为 0. 6 μm 左右。齿向误差最大值随滚刀轴向进给量的减小大幅度减小。
图 10 不同轴向进给量下的齿向误差
实例验证分析
基于前述分析可知，增大滚刀长度可避免大变位齿轮滚切出现的齿顶切削不足现象，减小滚刀轴向进给量可大幅度减小齿面齿向误差。参照表 3 和表 4 给出的柔轮和滚刀参数，进行滚齿齿面误差仿真计算，对该结果进行验证。
齿向误差验证分析：图 11 所示为齿向误差最大值与滚刀轴向进给量的关系曲线。
图 11 齿向误差最大值与轴向进给量关系
图 11 中曲线以 0 号齿槽右侧面对应不同滚刀轴向进给量的多个齿向误差最大值为基础，进行差值拟合而成。由图 11 可看出，轮齿齿面齿向误差最大值随着轴向进给量的减小而显著减小，柔轮的其他各齿面齿向误差最大值与轴向进给量的关系与此基本相同。
齿形误差验证分析：图 12 和图 13 所示分别为右侧齿槽和左侧齿面齿形误差，两图中所有齿形误差均在同一齿宽位置上得出。在该齿宽处 1 号齿槽处于滚刀轴向进给位置，因此，1 号齿槽齿形误差最小，180 号齿槽齿形误差接近误差最小值，120 号齿槽面的齿形误差接近最大值。两图中各轮齿齿形误差只是在该齿宽位置处的误差，并不代表某个齿齿形误差整体偏大或偏小。
图 12 右侧齿槽齿面齿形误差
图 13 左侧齿槽齿面齿形误差
由图 12a 和图 13a 可看出，滚刀未加长时各齿槽左、右齿面齿形误差靠近轮齿齿顶处均明显增大。
将滚刀按表 5 给出的刀刃号加长至有效切削刃为 83 个时，各齿槽右侧面和左侧面的齿形误差分别如图 12b 和图 13b 所示。由图可知，靠齿顶处误差值明显减小，且 1 号、60 号、180 号齿槽靠近齿顶处齿廓的误差比靠近齿根处齿廓的误差还小，不存在轮齿切削不足的现象。
图 12c 所示为滚刀轴向进给量为 0. 5 mm / r 时右侧齿面齿形误差，其与图 12b 所示轴向进给量为 1. 5 mm / r 齿形误差相比，各齿槽齿面齿形误差明显减小，最大齿形误差在 120 号齿槽处约为 0. 6 μm，其他 3 个齿槽面齿形误差在 0. 03~0. 15 μm 之间。
图 13c 所示为滚刀轴向进给量为 0. 5 mm / r 时左侧齿面齿形误差，与图 13b 所示轴向进给量为 1. 5 mm / r 齿形误差相比，各齿槽齿面齿形误差明显减小，最大齿形误差在 60 号齿槽处约为 0. 5 μm。
四、结论
开展滚齿仿真数值计算研究大变位齿轮成形机理，精确分析标准滚刀加工大变位柔轮产生的理论加工误差，通过研究得出以下结论：
(1)标准滚刀加工齿数较多的大变位齿轮会因靠齿顶处齿廓切削不足而产生大的加工误差，除此之外, 与标准渐开线齿轮加工相比，滚齿产生的齿形误差与齿向误差并未有明显变化;
(2)增大滚刀长度可避免大变位齿轮滚齿出现的齿顶切削不足现象，并通过仿真计算给出了滚切某型号大变位柔轮避免出现齿顶切削不足，需要滚刀最小长度对应的有效切削刃数;
(3)滚齿过程中轴向进给量对大变位柔轮齿面误差影响明显，轴向进给量由1. 5 mm/ r 减小到0. 5 mm/ r，大变位柔轮齿面齿向误差最大值减小了 89%，并得出了柔轮齿面齿向误差最大值与滚刀轴向进给量的关系曲线。
参考文献略.