齿轮作为机械传动系统的重要组成单元，传动系统在运行过程中，齿轮轮齿的健康状态直接影响整台机械的工作效率。经大量研究与统计，齿轮在循环弯曲应力和应力集中等条件下，齿轮的失效形式主要表现为齿轮的齿面点蚀、轮齿磨损、齿根裂纹和齿面胶合等故障现象。在上述齿轮故障中，轮齿的齿根裂纹占据 40%的比重，其是齿轮故障的主要表现形式。当轮齿故障发生时，轻则导致停机，影响生产效率，重则引起重大经济损失，甚至是出现人身伤亡等重大事故。
当齿根裂纹产生后，新裂纹会进一步延伸或扩展，将会导致轮齿断裂。根据不同状态的齿根裂纹对齿轮的啮合刚度带来较大影响，使齿轮系统的传动特性和传动效率大为降低。另外，齿根裂纹还会引起传动系统的振动，恶化机械设备的运行环境，给传动系统的稳定性带来巨大挑战，导致机械设备的使用寿命降低。最终，大幅度增加了设备的使用和维护成本。
针对轮齿齿根裂纹的研究，国内外有许多专家和学者在此领域贡献出大量的研究成果。如文献以风电机的增速齿轮组为研究对象，采用了非线性动力学理论和数值仿真法研究了齿根裂纹对轮齿时变啮合刚度的影响情况。文献基于势能法，计算含有磨损和裂纹的齿顶修形斜齿轮的啮合刚度，并将计算结果与仿真结果对比，验证了势能法研究轮齿啮合刚度的有效性。文献采用有限元法研究齿根裂纹扩展路径，并采用势能法求解了裂纹路径与时变啮合刚度之间的力学关系。文献研究齿根裂纹尖端到单齿中线的距离与 1/2 齿顶圆齿后的关系，采用能量法分析啮合刚度与轮齿裂纹深度之间的变化关系，得出了裂纹深度大于 50%时轮齿刚度值减小幅度加剧。并且，采用有限元法仿真验证理论模型的有效性。但是，这些研究成果都没有涉及到齿根裂纹扩展方向和裂纹深度对多种轮齿啮合刚度值的影响情况。
因此，本论文在上述研究的基础上，采用能量法，考虑了轮齿的 Hertz 接触刚度、径向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度 4 种刚度形式。同时，考虑了齿轮本体柔性变形对理论刚度值的偏差较大，并给出了理论刚度计算方法的修正形式，能够得到理论计算结果与实际刚度数值进一步相接近。
一、轮齿啮合时变刚度的原理
采用轮齿啮合变形的能量法，研究轮齿时变啮合刚度与 4 种主要变形情况的计算关系。再利用键合图建模法，建立单、双齿周期性交替啮合的刚度模型，并通过数值仿真的方式研究轮齿的时变啮合刚度与相关参数之间的变化规律。
单齿啮合刚度
轮齿啮合传动时，储存在轮齿内部的能量主要有 4 种：Hertz 接触能、径向压缩变形能、弯曲势能和剪切变形能。根据能量法的计算原理，结合图 1 所示的单齿啮合时轮齿的受力情况，可分别得出轮齿的 Hertz 接触刚度、径向压缩刚度、轮齿的弯曲刚度和轮齿的剪切刚度的计算关系(齿数小于 41)，如式(1)—(4)所示。当齿轮的齿数大于 41 时，可将这 4 种刚度公式中的非积分项去掉，并将积分项的积分上限 α2 改为 α4 即可。
式中：μ 为泊松比;E 为弹性模量;B 为齿宽;α 为压力角; 
采用能量法，考虑轮齿的 Hertz 接触刚度、径向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度等 4 种刚度形式。按照这种方法计算轮齿的啮合刚度时，因没有考虑齿轮本身的柔性变形，从而导致计算得出的理论刚度值比齿轮的实际刚度值偏大。若不解决这个问题，将会对后续轮系动态特性的研究带来较大影响。
根据相关文献，给出了齿轮本体柔性变形的计算关系，如式(5)所示
式中：B 为轮齿的齿宽;αm 为啮合角;L* 、M* 、P* 、Q* 为多 项式的系数项，满足式(6)的函数关系
式中：X* ={L* ，M* ，P* ，Q* }，且各参数的含义及取值，详见文献。
即，齿轮基体的柔性刚度 Kf，由式(7)求得
当主、从动齿轮在单啮合区啮合时，可根据机械系统刚度串联原理计算，将这对轮齿啮合的综合时变啮合刚度 Ksgle 的计算关系，如式(8)所示
式中：i 为 1、2，分别为主动轮、从动轮。
双齿啮合刚度
同理，主、从动齿轮对应轮齿在双啮合区啮合时，可按照并联刚度原理计算，其轮齿啮合的综合时变啮合刚度 Kttal 的计算关系，如式(9)所示
式中：i 为 1、2 时分别为第一对啮合的轮齿、第二对啮合的轮齿。
单、双齿啮合时变刚度
根据式(8)、式(9)，可得出齿轮传动系统的综合时变啮合刚度 K(t)，可按照式(10)所示的关系描述
式中：轮齿从进入啮合开始直至完全退出啮合时的周期记作 T;n 为轮齿顺序号;则第二对主、从动齿轮的轮齿进入啮合时时间为 t1，t1=T/ε;以及第三对主、从动齿轮的轮齿进入啮合阶段的时间为 t2，t2=1-1/ε;ε 为齿轮的重合度，其值在(1，2)的范围内。
二、齿根裂纹的力学模型
齿根裂纹的力学原理
图 2 是含有齿根裂纹 AB 的单齿模型，假设 A 点是齿根受力的最大值点，也是裂纹开始产生的起始点，B 点是裂纹的截止点(尖端奇异点)。裂纹 AB 与轮齿中心线的夹角为(裂纹扩展的方向角)，假设该角在裂纹扩展时始终保持为同一常数。同时，假设含有裂纹的轮齿在齿根部位尚未产生挠度变形，该轮齿仍然可简化为变截面的悬臂梁。在这种条件下，该轮齿的齿廓曲线仍保持完好。因此，轮齿的赫兹刚度和径向压缩刚度均与正常齿轮的刚度一样。但是，由于齿根裂纹的存在，从而改变了齿根位置处的受力环境，导致轮齿的弯曲刚度和剪切刚度发生变化。
含有齿根裂纹故障时，在距离基圆距离为 x 位置处的惯性矩 Ix 和有效截面积 Ax 的计算关系，改变为式(11)和式(12)所示
式中：B 为轮齿沿轴向方向的厚度。
齿根裂纹仿真模型的设置
图 3 是轮齿的齿根裂纹扩展示意图，如裂纹的上边界为 AG，下边界为 CG。D 点是裂纹上、下边界初始点 A、C 连线的中点，G 点是裂纹尖端点。连接 DG 并反向延长与轮齿中线 OO 交于 B 点，即以线段 DG 的长度近似描述裂纹的大小。ν 是裂纹 DG 与轮齿中线 OO 的夹角，即为裂纹扩展的方向角。根据齿根裂纹在不同尺寸下的长度 lx，来定义裂纹故障扩展的程度，其定义方法见表 1。
三、齿根裂纹对啮合时变刚度的影响研究
裂纹扩展程度与啮合刚度之间变化关系的研究
本节采用数值仿真的方法，来说明齿根裂纹扩展程度与啮合刚度之间的波动关系。根据轮齿啮合刚度的计算关系式与给出的仿真条件，得出了如图 4 所示的是一对啮合传动齿轮时变刚度的变化曲线，其参数：齿数 Z1=16，Z2=24;模数 m=4.5 mm;齿宽 B=38 mm;弹性模量 E=2.1×105 N/mm2 ;泊松比 μ=0.3。
从图 4 中可得，正常健康轮齿的时变啮合刚度呈现出恒周期性;当单个轮齿的齿根出现裂纹故障时，使该轮齿的啮合刚度明显降低很多，且在整个时变啮合刚度图中故障刚度也随着齿轮转动角频率而呈现出大周期性。另外，时变啮合刚度值的大小，随着齿根裂纹故障严重程度的增大而减小。而且，随着齿根裂纹扩展的严重程度进一步增强，时变啮合刚度由双齿啮合到单齿啮合和单齿啮合到双齿啮合等过渡阶段的突变现象较大。
裂纹扩展方向与啮合刚度之间变化关系研究
本节采用数值仿真法，研究齿根裂纹扩展方向与啮合刚度之间的波动关系。根据直齿圆柱齿轮自身的特性，结合图 3 所示的裂纹扩展模型，将裂纹扩展的方向设定为 20°、30°、45°和 60° 四种特殊的角度。
按照设置好的仿真条件，通过仿真计算后，得出如图 5 所示的一对相互啮合传动的齿轮，反映出不同程度轮齿齿根裂纹扩展方向与时变刚度间的变化曲线，其参数：齿数 Z1=16，Z2=24;模数 m=4.5 mm;齿宽 B=38 mm;弹性模量 E=2.1×105 N/mm2 ;泊松比 μ=0.3。
由图 5(a)所示的前期裂纹与时变啮合刚度的变化曲线可得：当齿根裂纹在前期时，其含齿根裂纹故障轮齿的刚度值，随着裂纹扩展角度的增大而减小。同时，单对轮齿啮合刚度由健康轮齿时的非单调性向单调递减方向转变。
图 5(b)所示的中期裂纹的啮合刚度曲线可得：此时，含齿根裂纹故障轮齿的刚度值，随着裂纹扩展角度的增大而增大。同时，单对轮齿啮合刚度曲线的单调性增强。
同理，图 5(c)所示的后期裂纹的啮合刚度变化曲线中得出，其变化规律与前期、中期裂纹对刚度值的影响规律相同。
裂纹扩展方向与啮合刚度变化的局部区域，含有齿根裂纹轮齿的时变刚度值随着裂纹扩展程度的增大而降低。当齿根裂纹在扩展的整个时期里，故障轮齿的时变啮合刚度值随着方向角的增大而增大。另外，故障轮齿的时变啮合刚度值，随着裂纹扩展程度严重性的增强，方向角度的变化对时变啮合刚度值的影响程度降低。
四、结论
本论文基于能量法，针对齿轮的齿根裂纹扩展与时变啮合刚度之间变化关系，经研究得出了以下几点结论。
1)在传统刚度的理论模型基础上，采用能量法，考虑了轮齿的 Hertz 接触刚度、径向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度 4 种刚度形式。同时，将齿轮的柔性变形也考虑在内，建立起优化的时变啮合刚度的理论模型。
2)在轮齿齿根裂纹扩展程度与时变啮合刚度间的变化关系的研究中，得出了时变啮合刚度值的大小，随着齿根裂纹故障严重程度的增大而减小。
3)在对裂纹扩展方向与啮合刚度之间变化关系的研究中，得出了时变啮合刚度值随着裂纹扩展角度的增大而增大。
4)齿根裂纹的扩展程度和扩展方向，对时变啮合刚度的变化规律影响不大。
参考文献略.