刮齿刀切削机理及参数优化研究

 　　齿轮对于制造业的重要性不言而喻，而刮齿与传统的齿轮加工方法相比具有更高的效率及更广阔的应用前景。现存的根据插齿刀设计理论衍生出的刮齿刀在理论刀刃误差方面存在严重不足。在加工中由于刀具工作角度的变化容易与工件发生干涉现象，降低加工精度与加工质量。首先，根据刮齿刀已有的相关学术成果，对刮齿过程中齿面形成过程进行分析，建立了刮齿刀运动学模型和误差模型。其次，在刀具包络齿轮理论的基础上，对刀具刃口位置和定位误差对齿轮齿廓偏差的影响进行定量分析。结果表明，加工精度存在偏差受刀具参数和加工参数的影响。通过对理论加工误差的分析，进行正交试验选择参数的最优组合，并且用选定的参数进行加工试验。结果表明，所提出的优化方法能够有效提高加工精度与加工质量。

　　刮齿技术作为一种高效、环保的齿轮加工技术，在 21 世纪得到了越来越多的关注。在这项技术方面，20 世纪初便有人提出这一设想并获得专利。然而这种方法在当时并没有付诸实践，因为刮齿技术对当时的刮削刀具提出了很大挑战。Kojima在 1974 年对生产方法进行了研究，根据齿廓分析理论分析了切割器与直齿圆柱齿轮之间的几何关系，并对刮削刀具的游隙角进行了数值研究。随着传动系统的数控装置、刚性电子齿轮箱、复杂的刀具几何形状及快速涂覆技术的进化，动力切削由于其高生产率和灵活的替代性逐步占据了先进技术的市场。德国 Primulter GMH & Co.KG 机床公司于 2006 年提供了 S240R 磨床。长沙机床有限公司 2010 年度开发了切片机 YK1015A。Gleason 在 2013 年出产了动力刮削机 600 PS。刮齿刀是车削齿轮加工系统的重要组成部分，刀具参数和加工参数的合理组合是充分发挥这一技术优势的保障。关于刮齿的理论研究与技术尚处于比较落后的阶段，暂无公开发表的文献，但是由于刮齿的切削造就了齿轮齿面的形成，因此，文中主要从齿面形成过程来对刀具参数优化展开研究工作。从工程实际可以看到，用于加工内齿轮的动力切削过程比成形更快，并且削屑的连续切削能力远比拉削更灵活。数值计算工具的兴起极大地促进了刮齿技术的发展，Spath 等将动力刮削作为现代齿轮加工解决方案，阐述了动力刮削过程的经济环保，随后利用试验表明了其优势和发展潜力。Schulze 等和 Hartmut 等针对齿轮动力刮削提出了一种半精削的方法和装置。王爱群等通过旋切法建立刀具运动模型，针对提高齿轮加工精度提出了“两步”加工法和刀具选择的注意事项，并验证了其所提方法的有效性。

　　由于现在关于刀具参数与加工参数的优化方法缺乏科学的理论依据，导致最优参数的确定有一定的困难。因此，文中首先建立了刮齿刀运动数学模型，通过对相对速度的推导对刀具工作角度进行定义。在此基础上，建立理论齿面和加工齿面之间的误差模型，讨论干涉判断刀具参数方法，最后利用正交试验法选择恰当的刀具参数与加工参数来提高加工精度。因此，切削速度取决于电机的转数和轴角。

　　一、刮齿切削原理

　　刮齿是通用齿轮制造中的一种连续切削方法。在这种制造技术中，它与一般的车刀和刮刀不同。切削过程是由刀具与工件之间的相对速度引起的。刀具相对于工件放置在横轴角度上，类似于剃须过程，并且刮齿动作是由刀具和工件之间的相对速度引起的。相对于内齿轮的刮削刀具的几何结构如图 1 所示。将笛卡尔坐标系 S₁(O₁-x₁y₁z₁)和 S₂(O₂-x₂y₂z₂)分别假设为工件和刮齿刀的运动坐标系，且工件与刮齿刀之间为刚性连接。在图 1 主视图中可以得出，内齿轮在 S₁ 坐标系中进行定位，其旋转轴与 z₁ 共线。而刮齿刀则在 S₂ 坐标系中进行定位，其旋转轴与 z₂ 共线。刀具中心通过矢量距离 a 定位在 x_y 平面中心，齿轮和刀具的节距圆在圆周的最低点进行切向接触。同样，在图 1 俯视图中对工件轴和刮齿刀轴构成的刀具工作角度进行了示意。以直齿轮为例，轴向进给速度 v⁽²⁾₀ 与 z₁ 共线，假设工件运动角速度和刀具运动角速度分别为 ω₁ 和 ω₂。随着轴向进给 v⁽²⁾₀开始，工件绕 z₁ 旋转 φ₁，刀具绕 z₂ 旋转 φ₂。在滚动刮齿过程中，利用工件和刮齿刀具相对运动使得切削速度 v_c 形成定位约束。如图 1 所示，刀具速度 v₂ 被划分为轴向速度 v_2a 和切向速度 v_2t。然后，切向速度 v_2t 和工件运动速度 v₁ 耦合得到切向速度 v_t。因此，切削速度 v_c 由轴向速度 v_2a 和切向速度 v_t 引起。在加工斜齿轮的情况下，行程运动中取 z₁ 轴方向作为进给方向，但增量角速度 Δω₁ 依赖于轴向进给，必须添加到 ω₁。工件的增量角速度 Δω₁为：

　　式中：m_n——工件齿的法向模数;

　　           z_g——工件的齿数。

　　工件与刀具的角速度与轴向进给速度之间的关系满足：

　　式中：z_t——刮齿刀齿数。

　　相反，如果工件提供增量运动，则关系可以表示为：

　　二、刮齿加工理论误差讨论

　　理论刮齿面数学模型

　　假设进给导程为 P_z，理论刮齿面即在加工过程中刮齿刀沿工件轴线进给所构成的渐开螺旋面。所以，刮齿刀沿轴线的进给量与导程之间存在线性关系：

　　如图 2 所示，在工件坐标系 S₁(O₁-x₁y₁z₁)中，理论刮齿曲线的极坐标为：

　　式中：θ_L——进给极角;

　              ρ——极径。

　　假设理论刮齿面上刮齿边缘存在某一特定的点 m₀ 的极径为 ρ₀，进给极角为 θ_L0，ρ₀ 与刮齿刀坐标系 S₂(O₂-x₂y₂z₂)中 x₂ 轴的夹角为 σ;刮齿边缘其余任意一点 m₁ 的极径为 ρ，进给极角为 θ_L，则∠(ρ，ρ₀)=θ_L-θ_L0，且∠(ρ，x₂)=σ+θ_L-θ_L0。随着刮齿刀运动转角为 ξ 时，刮齿刀自身相当于沿 z₁ 方向移动 pξ，因此，理论刮齿面参数方程描述为：

　　将 ρ₀ 与 x₂ 轴的夹角为 σ₀ 时作为刮齿起始点，u 为刮齿边缘参数，且 σ₀+u=σ+θ_L-θ_L0+ξ，对式(6)进行简化描述：

　　实际刮齿与理论刮齿误差模型

　　实际刮齿面与理论刮齿面误差模型进行讨论时，首先将一个理论刮齿面作为参考标准。为了确定目标理论刮齿面，可以通过最小二乘法对曲面进行拟合，讨论刮齿面上某一点与其邻近刮齿面之间的距离，从而确定加工误差。

　　首先，需要对实际刮齿面与理论刮齿面进行假设，设实际刮齿面为 r_∑(r_∑，φ_∑)，理论刮齿面为 r_LK(ρ，ξ，σ_k)。由于在刮齿过程中，待加工工件与刮齿刀对应的产形轮在节点处共轭，所以可以将工件节点作为依据来计算理论刮齿面的初始位置 σ₀。

　　在车削内齿的过程中，工件与刀具的中心距为 a= r_f1-r_f2，r_f1 为工件齿根圆半径，r_f2 为刮齿刀齿顶圆半径。以渐开线为标准，根据刀具齿顶圆与工件齿根圆啮合理论，可以推导得到：

　　式中：β₁——工件的节距圆螺旋角;

　　r₁———工件节距圆半径;

　　p₁———工件导程;

　　β₀₁———工件分度圆螺旋角;

　　r₀₁———工件分度圆半径;

　　β₂———产形轮节距圆螺旋角;

　　r₂———产形轮节距圆半径;

　　p₂———产形轮导程;

　　β₀₂———产形轮分度圆螺旋角;

　　r₀₂———产形轮分度圆半径。

　　考虑到车削外齿时，工件与刀具的中心距为 a=r_f1+ r_f2，以渐开线为标准，根据刀具齿顶圆与工件齿根圆啮合理论，同样可以用式(8)进行类似描述，但是需要对其进行修改，中心距为工件节距圆半径与刮齿刀节距圆半径之和，即 r_f1+r_f2=a。

　　无论是对直齿轮进行切削还是对斜齿轮进行切削，由于它们之间只是存在一个准角的关系，因此就刀具包络齿轮理论而言，刮齿刀主刃都必须与齿轮齿面共轭的产形轮齿面对应。因此，主刀刃不仅位于产形轮齿面，更是前后刀面及产形轮齿面三者的交线，因此可以得到主刀刃参数方程：

　　式中：r_r(r)——刮齿主刀刃上某一点在 S₂ 下的矢量;

　              r——刀具坐标系下，主刀刃上某一点到刮齿刀中心轴的距离。

　　根据式(8)和式(9)可以对主刀刃节点和工件节距圆半径进行求解。

　　根据刮齿加工过程，若干次切削共同作用完成工件加工齿面。刮齿刀在每次切削进程中都会在 S₁(O₁- x₁ y₁ z₁)下形成一个空间曲面∑₁，如图 3 所示。C₁ 表示 t₁ 时刻的切削刃，基于空间运动学原理，可得刀刃切削面方程：

　　式中：r_x——切削面上某一点在 S₁ 下的矢量;

　　           T——S₂ 到 S₁ 的总变换矩阵。

　　为方便描述，令：

　　如图 4 所示，根据刮齿坐标系可以对总变换矩阵 T 进行如下描述：

　　

　　通过式(8)和式(9)可对刮齿刀主刀刃对应节点和工件节距圆半径进行描述。同样，通过式(10)和式(11)描述的坐标变换及 S₁ 坐标系上投影点与 x₁ 轴之间的夹角关系，可以对理论刮齿面的初始位置进行描述：

　　式中：σ_k——S₁ 坐标系上投影点与 x₁ 之间的夹角;

　　           θ_k——节距圆处螺旋面转角。

　　根据刀齿包络理论中理论刮齿面初始位置最小原则描述初始区间长度 L_DK：

　　式中：θ_a，θ_f——工件齿顶处与齿根处的螺旋面转角。

　　由此可以推导两个相邻理论刮齿面的初始位置：

　　为提高计算效率，拟采用离散网格+跟踪法对工件任一点与理论刮齿面之间的距离 l_c 进行计算。根据求解出的初始点找出 l_c。如图 5 所示，假设任一点为 Q，对应理论刮齿面上的点为 p，点 p 在进行加工之前初始位置为 p₀，Q 到 p 和 p0 的方向矢量定义为 U 和 S。由式(7)得到点 p₀ 在 S 和 U 两个方向矢量上的偏导数 r_Lρ 和 r_Lξ。对矢量 S分别在U，r_Lρ 和 r_Lξ 三个方向上进行分解，可以描述为：

　　式中：d，A_L，B_L——矢量 S 在 U，r_Lρ，r_Lξ 三个方向上的投影系数。

　　将 S 分别对 r_Lρ，r_Lξ 进行点乘求解，可以得到：

　　对式(16)进行求解，得：

　　将式(17)和式(18)作为依据，可以得到采用跟踪求解理论刮齿面时需要的参数迭代量：

　　根据式(17)和式(19)，采用跟踪求解法求解 l_c，令 n 表示迭代次数，可以得到：

　　三、参数优化及正交试验

　　如文中描述，带有增量的刮齿进给运动对工件边缘的实际刮齿与理论刮齿之间存在误差。引起齿侧和齿根偏差的进给深度与不同的刀具参数、加工参数有关，例如齿轮和刀具的齿比及轴向进给速度，如表 1 所示。利用提出的数学模型对加工精度进行精确评估和计算。

　　齿比与加工导程偏差

　　为了对齿轮齿数有关的齿廓偏差进行研究，将工件齿数分为奇数与偶数，并将齿轮和刀具的齿比纳入讨论范围。与齿数和齿比相关的导程偏差如表 2 和图 6 所示，假设工件齿数为 z_g，当刮齿刀齿数为工件齿数的 2/3 时，当工件齿数为奇数时，刮齿刀每两个齿轮旋转 3s 就会切割出相同的间隙。而当工件齿数为偶数时，假设工件齿数为 z_g，采用半齿数的刮齿刀，这就意味着每个齿轮旋转 1s 就会切割出相同的间隙。

 

　　此外，如果刮齿刀齿数约为工件齿数的一半，除去齿数均匀，齿比恰好为 1/2 的情况，导程偏差大于其他情况。当工件齿数为奇数时，如图 6a 所示，刮齿刀齿数 为 30，31，32，33 时，导程偏差最大，达到了 20.2 μm。

　　当工件齿数为偶数时，如图 6b 所示，刮齿刀齿数为 31 和 33 时，导程偏差达到了 20.2 μm。由于工件和刮齿刀的齿比决定了齿侧的导程偏差。因此选择合适的刮齿刀齿数有利于提高刮齿加工精度。此外，若工件齿侧质量要求较高，刮齿刀齿数应该利用最大公约数来选择。但是需要避免使用半齿数的刮齿刀具，除非工件齿数为偶数，齿比恰好为 1/2。

　　轴向进给与加工导程偏差

　　适当减少每个齿轮的轴向进给可以进一步减少进给误差的深度。与刮齿刀轴向进给相关的导程偏差如表 3 和图 7 所示。随着轴向进给量的增加，导程偏差会逐步增大。例如当 f_z=0.5 mm/r，z_g=63，z_t=36 时，工件齿轮导程偏差为 0.7 μm。然而当 f_z=0.5 mm/r，z_g=64，z_t=32 时，工件齿轮导程偏差为 0.7 μm。因此，齿侧进给量偏差与齿比有关。对于具有最大公约数的工件和刮齿刀的齿数，为了提高加工效率，需要提高轴向进给量。如果工件齿数与刮齿刀齿数不匹配，则必须选择轴向进给，直至导程偏差满足加工要求。然而，如果轴向进给量过小，导致刮齿刀运动与切削方向相反，则会增加刮齿循环时间。

 

　　四、结论

　　通过对刮齿刀工作原理的分析建立了关于刮齿刀理论刮齿模型及实际刮齿与理论刮齿之间的偏差模型，对刮齿相关参数进行了研究，得出以下结论：

　　(1)随着轴角和刀具直径增大，顶前角减小。通过设置较大的轴角，选择较大的刮齿刀直径，可以获得更好的切削角。

　　(2)工件齿数和刮齿刀齿数的齿比决定了齿侧的导程偏差。对于边缘质量要求较高的齿轮，刮齿刀齿数应该根据最大公约数来确定。并且除了齿数均匀，齿比恰好为 1/2 时，需要避免使用半齿数的刮齿刀。

　　(3)减少刮齿刀轴向进给可以进一步较少进给误差。对于具有最大公约数的工件和刮齿刀的齿数，为了提高加工效率，需要提高轴向进给量。如果工件齿数与刮齿刀齿数不匹配，则必须选择轴向进给，直至导程偏差满足加工要求。

　　参考文献略.