齿轮传动系统异常振动是导致其轮齿及轴承元件发生故障的主要原因之一，研究支撑轴承诱发的齿轮传动系统异常振动特性可为系统运行状态的准确监测与识别提供有益参考。国内外学者对不同误差诱发的齿轮传动系统的振动特征进行了大量研究。Chen 等研究了齿轮加工误差对风电行星齿轮传动系统动态特性的影响规律。Li 等建立了主动齿轮、从动齿轮、轴、电机和负载组成的 4 自由度 动力学仿真模型。Ma 等简化了轴承和轴的刚度及阻尼计算方法，研究了带有局部裂纹的 4 自由度齿轮传动动力学模型。Parey 等提出了含局部齿缺陷的 6 自由度齿轮系统动力学模型。Omar 等考虑了扭转和横向刚度以及轴的阻尼影响，建立了 9 自由度齿轮动力学仿真模型。Guo 等提出了基于齿轮-转轴-轴承-箱体系统的有限元模型和集中参数法振动模型。文献建立了齿轮-转轴-轴承传动系统动力学模型，分析了轮齿修形对系统振动特性的影响规律。Gafsson 等分析了外圈波纹度对滚动轴承系统振动谱的影响规律。Liu 等研究了滚动轴承滚道表面非均匀波纹度误差对轴承系统振动特性的影响规律。以上研究主要集中于对齿轮及滚动轴承故障特征提取和故障诊断方法的研究，而对滚动轴承及轮齿制造误差对齿轮传动系统振动特征影响规律的研究相对较少。
笔者为了研究轴承波纹度制造误差对轴承-齿轮传动系统中齿轮动态传递误差的影响，构建了轴承滚道表面时变波纹度误差表征模型，建立了考虑轴承内外圈滚道表面波纹度幅值及波数以及时变齿轮啮合刚度的轴承-轴-齿轮系统耦合动力学模型，研究了不同转速和负载条件下支撑轴承内外圈滚道表面波纹度幅值和波数对齿轮啮合动态传递误差的影响规律。
一、动力学模型
滚动轴承波纹度误差模型
波纹度误差是滚动轴承部件表面不可避免存在的主要形状误差之一。滚动轴承滚道表面存在波纹度时，波纹度不仅会引起周期性的位移激励，还会使滚动体与滚道之间的接触刚度发生周期性变化，导致滚动体与滚道之间接触力周期性变化，造成滚动轴承及转子系统产生异常振动和疲劳破坏。图 1 为含波纹度误差的轴承滚道示意图。
滚动轴承波纹度可采用正弦函数表示。滚动轴承滚道的径向表面在轴承内圈滚道及外圈滚道的波纹度误差 pij和 poj分别表示为
其中：Ail和 Aol分别为轴承内圈滚道及外圈滚道波纹度误差的幅值;αil和 αol分别为轴承内圈滚道及外圈滚道误差的初始角位置;fc，fi和 fo为轴承保持架、内圈及外圈滚道的旋转频率;l为波纹度阶次;ξ 为波纹度最高阶次;t 为时间;j 为第 j 个滚动体;Z 为滚动体个数。
根据赫兹理论，第 j 个滚动体与滚道之间的接触力为
其中：Ke为球与滚道之间的等效接触刚度;n 为刚度指数，球轴承 n 取 1.5，圆柱滚子轴承 n 取 10/9。
第 j个球在接触角方向的等效形变δj为
其中：θj = ωca t + 2π( j - 1 ) /Z;Zbi为轴承在轴向预紧力作用下产生的轴向形变;α0为轴承接触角;D 为节圆直径;αa为轴承预载荷接触角;Xbi与 Ybi为轴承径向形变;δe为初始挠度;
斜齿轮动力学模型
齿轮副为非线性系统，笔者在考虑制造误差的轮齿外啮合刚度计算模型基础上，建立斜齿轮系统动力学模型，如图 2 所示。
齿轮系统动力学方程为
其中：M 为齿轮当量质量，M =( m1m2 ) / ( m1 + m2 )，下标 1 和 2 分别表示输入齿轮与输出齿轮;x 为齿轮在啮合线方向上的相对位移;C(t)为齿轮啮合阻尼;k(t)为齿轮时变啮合刚度。
在不考虑齿轮间摩擦影响时，F(t)主要为齿轮动态啮合力，其表达式为
其中：δD为斜齿轮动态传递误差，δD = r1 θ 1 - r2 θ 2 - y 1 + y 2;r 为齿轮节圆半径;θ 为转动角度;y 为径向位移。
在齿轮啮合力作用下，轮齿弯曲、剪切以及压缩变形而产生弯曲刚度 kb、剪切刚度 ks以及轴向压缩刚度 kc。啮合点在某一时刻综合啮合刚度的表达式为
其中：kh为齿轮啮合过程中啮合点处齿面受到啮合力作用发生弹性变形而产生的接触刚度;下标 g 表示主动轮刚度;下标 p 表示从动轮刚度。
二级齿轮传动系统动力学模型
齿轮-轴-轴承系统中的齿轮动态传递误差主要受各部件加工精度、装配误差、载荷诱发的形变等影响。为研究滚动轴承波纹度误差对二级齿轮传动系统中斜齿轮动态传递误差的影响，笔者建立了轴承-轴-齿轮传动系统多自由度动力学模型，如图 3 所示。该模型包含输入轴的 2 个圆柱滚子轴承、输出轴的 2 个圆柱滚子轴承以及靠近负载端的深沟球轴承。齿轮被简化为等同于齿轮转动惯量的刚性圆盘，并考虑了齿轮间的啮合刚度及阻尼的影响。利用作用在轴承上的激振力，仿真波纹度误差对该二级齿轮系统的影响。基于该动力学模型，分析不同轴承波纹度误差引起的齿轮系统的振动响应特征。
该模型采用的轴承参数和齿轮参数如表 1 和 表 2 所示。渐开线齿轮啮合时参与啮合的轮齿对存在周期性变化，啮合过程中齿轮会发生弹性形变，这些因素导致齿轮啮合刚度的变化。齿轮传动系统扭振-径向位移耦合动力学方程为
其中：M1，ΩJ1 和 K1 分别为齿轮传动系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;
和 u 分别为每个原件的位移、速度和加速度向量;Ω 为转速;Fg为转子重力;Fex为系统所受外力;Fb为考虑波纹度误差影响的轴承接触力。
该动力学模型的假设条件主要包括：①轴与轴承内圈之间的接触界面为固定连接;②轴承座和深沟球轴承外圈为弹性连接;③滚动体与正常轴承滚道之间的接触满足 Hertz 接触条件;④忽略滚动体质量的影响;⑤考虑滚动轴承滚道表面制造误差的影响;⑥不考虑保持架与内外圈滚道和滚动体之间的动态接触行为。
二、仿真结果分析
输入转矩 Tin设为 6 kN⋅m，转速为 4 500 r/min，输出段负载 Tout为 18 kN⋅m。考虑 19 种波纹度误差工况的影响，内外圈滚道波纹度误差参数如表 3 所示。工况 8~13 及工况 14~19 分别表示轴承 3 和轴承 4 存在波纹度误差，误差幅值及阶数与工况 2~7 相同且对应。由于不同位置圆柱滚子轴承的滚动体在自转过程中会分别与内外圈滚道不同幅值和阶数的波纹度误差接触，故产生的冲击特征会不同。因此，笔者对内外圈波纹度误差进行单独分析。
笔者在 Matlab 软件中采用四阶龙格-库塔法，用方程求解轴承-轴-齿轮系统的动力学方程。图 4，5 分别为轴承 1 和轴承 4 内外圈滚道波纹度误差对齿轮动态传递误差的影响。不同误差工况下齿轮传动系统动态传递误差如图 6 所示。
图 4~6 表明，当滚动轴承内外圈滚道波纹度幅值和阶数越大，齿轮动态传递误差峰峰值就越大，即波动范围越大，齿轮传动系统振动特征变化越明显，但其均方根(root mean square，简称 RMS)值变化较小。对于输入轴支撑滚动轴承#1，即小齿轮轴的支撑滚动轴承波纹度误差工况，其外圈滚道波纹度对齿轮传动系统动态传递误差的影响较其内圈滚道波纹度误差更明显，且峰峰值更大。对于输出轴支撑滚动轴承#3，即大齿轮轴上的远输出端滚动轴承波纹度误差工况，其内外圈滚道对齿轮传动系统动态传递误差的影响差异较小。对于近负载端的输出轴支撑滚动轴承#4，其内外圈滚道波纹度误差对齿轮动态传递误差的影响相似;当其波纹度误差的幅值及阶数相同时，滚动轴承外圈滚道存在波纹度时，齿轮传动系统的动态传递误差峰峰值更大。
三、结束语
考虑了轴承时变啮合刚度、啮合阻尼及啮合力的影响，提出了轴承内外圈滚道波纹度误差时变位移激励模型，建立了含轴承滚道波纹度的多自由度轴承-轴-齿轮耦合动力学模型，研究了不同转速和负载条件下支撑轴承波纹度幅值和阶次对齿轮传动系轮齿啮合动态传递误差的影响规律。结果表明：输入轴支撑轴承存在波纹度误差时，其外圈滚道波纹度对齿轮动态传递误差的影响大于内圈滚道;输出轴非负载端支撑轴承存在波纹度误差时，其内外圈滚道波纹度对齿轮动态传递误差的影响相似;输出轴负载端支撑轴承存在波纹度误差时，其外圈滚道波纹度对齿轮动态传递误差的影响大于内圈滚道。
参考文献略.