误差对谐波减速器的性能、寿命、啮合状态等方面的影响很大，因此需要对此进行深入研究。影响柔轮应力与啮合特性的误差因素很多，总体可以分为制造误差与装配误差。在谐波减速器已经制造加工完成的情况下，制造误差对谐波传动啮合性能与柔轮应力的影响已不可控，而在三大部件的装配过程中，必然产生装配误差，进而使谐波减速器的应力分布、啮合状态、运行稳定性、传动精度及使用寿命受到影响，因此，研究装配误差对谐波减速器的影响规律，得到满足良好应力水平与合理侧隙的装配误差范围，对工程实际问题具有一定的指导意义。
基于此，本文以无公切线式双圆弧齿廓谐波减速器为研究对象，分析了影响谐波传动啮合性能与引起柔轮应力分布变化的主要装配误差，包括刚轮与柔轮的中心距误差、凸轮安装位置误差。在建立谐波减速器有限元非线性多齿啮合模型的基础上，探究各个装配误差对谐波传动啮合特性与柔轮应力分布的影响，在柔轮的长短轴正负向设置多个观测点，分别提取各个观测点的应力值及最大径向变形量，得到各装配误差对应力分布及最大径向变形的影响关系，结合MATLAB参数化手段探究各装配误差与齿间啮合侧隙的关系，为谐波减速器的误差控制提供参考方法。
一、双圆弧柔轮齿廓设计与主要装配误差
无公切线双圆弧共轭齿廓设计
双圆弧齿廓有更大的啮合弧长,目前谐波传动齿廓研究热点为公切线双圆弧齿廓。本次研究采取的无公切线双圆弧齿廓与公切线双圆弧齿廓相比，其共轭区间更大且设计流程更简单，更便于生产加工。
图1所示为局部坐标系下的双圆弧基本齿形。
该柔轮局部坐标系S1是以柔轮轮齿的对称轴为Y1轴，以Y1轴和柔轮中性层曲线的交点O1为坐标原点，以过O1 点垂直于Y1轴的直线为X1轴。该无公切线双圆弧齿廓包括3段相切圆弧，分别为柔轮齿凸齿廓AB、凹齿廓BC、齿根圆过渡齿廓 CD。双圆弧齿廓的基本参数含义如表 1 所示。
根据图1，以从齿顶A处起的齿廓弧长u为参数，r为右侧齿廓的矢径，n为其对应法向量。
在AB段上：
首先建立啮合基本方程并采用改进运动学法设计刚轮的理论共轭齿廓。采用数值离散思想，将各段的弧长参数 u离散成s个点，再将对应齿廓段点的 r、n 代入啮合基本方程，即可求得该点刚柔轮共轭转角集，最后通过坐标变换求得与柔轮齿廓共轭的刚轮理论齿廓。
谐波齿轮主要装配误差
谐波减速器的装配误差主要来源于各部件之间的相互配合过程，主要分为波发生器与柔轮之间的装配误差以及刚轮与柔轮之间的装配误差。而波发生器与柔轮的装配误差主要有波发生器中凸轮与柔性轴承的配合间隙、柔性轴承的径向跳动、柔性轴承的径向游隙、波发生器轴的径向跳动等，刚轮与柔轮的装配误差主要有刚轮与安装孔间的径向跳动与配合间隙、柔轮与输出轴的配合间隙等。本文采用固定刚轮的安装方式，即将刚轮作为机架，波发生器作为输入端，柔轮杯底作为输出端的形式。为简化分析提高效率，仅分析容易量化且可通过实验平台测量的因素。主要为刚轮与柔轮的中心距误差、凸轮安装位置轴向误差与径向误差。
1)刚轮与柔轮的中心距误差。
安装柔轮与刚轮时，一般应保证两者的中心轴线重合，在实际工程中，两者存在一定的误差，将两轴线之间的距离称为中心距，用eCF表示。eCF的偏差称为刚轮与柔轮的中心距误差，用δCF表示。
2)凸轮轴向安装误差。
凸轮在装配过程中，在柔轮上的安装位置截面离柔轮杯底的距离用dWF表示，dWF的偏差称为凸轮轴向安装误差，用δWFZ表示。
3)凸轮径向安装误差。
凸轮在装配过程中，在柔轮上的安装位置截面离柔轮杯底的距离用eWF表示， eWF的偏差称为凸轮径向安装误差，用δWFJ表示。
如图2为上述装配位置参数的示意图。
采用控制变量法结合MATLAB参数化与有限元实验法分析各种装配误差对谐波传动侧隙与柔轮齿面应力的影响。以谐波减速器型号CSF-25-120为实例，可知理论的刚轮与柔轮的中心距eCF=0，理论凸轮安装位置轴向距离dWF=24 mm，理论凸轮安装位置径向距离eWF=0。
需要研究的因素有：刚轮与柔轮的中心距误差δCF，凸轮轴向安装误差δWFZ，凸轮径向安装误差δWFJ。刚柔轮的中心距误差与凸轮径向安装误差所包括的范围为一圆柱体区域，为降低实验复杂程度，仅考虑长短轴方向误差取值。短轴与长轴方向上的δCF分别设为δCFX和δCFY，凸轮短轴与长轴方向上δWFJ分别设为δWFX和δWFY。对各因素进行实验安排，实验安排如表2所示，共计25组实验。
二、谐波齿轮有限元分析
共轭空间齿廓计算实例
采取HD公司的谐波齿轮型号CSF-25-120，模数m= 0.263 mm，柔轮齿数z1=240，刚轮齿数z2=242，传动比i=120，理论径向变形量 w*0=0.261，根据齿廓方程式(1)~式(4)，可得柔轮齿廓参数如表3 所示。采用基于改进运动学法的谐波啮合理论，得到刚轮的理论共轭齿廓。
谐波减速器有限元建模
建立刚轮、柔轮及波发生器的有限元模型通过 ABAQUS软件分析柔轮表面应力。
1)建立刚轮、柔轮与波发生器的三维实体模型，去除倒角，对模型进行简化。
2)利用ANSA 划分网格，如图3 所示，采用八结点六面体单元 C3D8R，并测试柔轮应力对网格数量的依赖性。
3)定义约束条件。网格模型导入ABAQUS，建立参考点，与柔轮杯底固结，设置为完全约束状态，波发生器分为上下两半同时装入柔轮，保证两者初始装配状态无干涉。
4)设置接触对。考虑柔轮弹性变形特点，由于波发生器与柔轮内壁接触状态和区域未知，因此设置“面-面”接触对，摩擦因数取0.15，滑移为有限滑移，主表面平滑度取为0.2。
5)赋予材料属性。材料性能参数如表4所示，柔轮材料为30CrMnSiA，刚轮和波发生器材料为45钢。
6)根据表2所列数据对谐波齿轮模型进行装配调整，共计25组实验。并对各组实验进行仿真计算，提取实验结果数据。
三、装配误差对双圆弧齿轮啮合特性与柔轮应力分布的影响
刚柔轮中心距误差对柔轮应力影响
提取不同δCFY值下的计算结果，绘制应力云图，为区分齿根处应力与齿面应力的变化，在柔轮齿长轴正向附近设置齿面应力观测结点1、齿根应力观测点2、短轴正向附近设置齿面应力观测点3、齿根应力观测点4、长轴负向附近设置齿面应力观测点5、齿根应力观测点6。提取柔轮齿面最大应力、杯底最大应力及各观测点应力绘制曲线如图 4、图5所示。
结果表明，δCFY 从0增大到 0.05 mm，柔轮杯底最大应力基本保持不变，柔轮齿上最大应力由410 MPa增大到了 11 000 MPa，扩大约27.5倍，同时，长轴正向的齿面与齿根观测点应力随着δCFY增加而减小，短轴附近的齿面与齿根观测点应力几乎不变，而长轴负向的齿面与齿根观测点应力急剧增大，呈指数增长。结果表明，长轴方向的刚柔轮中心距误差对柔轮齿上最大应力影响极大。对杯底最大应力影响很小。
对δCFY下的模型进行计算，绘制应力云图，增加短轴负向齿面应力观测点7、齿根应力观测点8。提取柔轮齿上与杯底最大应力及观测点 1、 2、3、4、7、8 的应力绘制曲线如图6所示。
结果表明，随着δCFY的增加，柔轮上齿面最大应力和杯底最大应力均随之呈线性增长，齿面最大应力增幅较大，约为200%，杯底最大应力增幅约为61%。柔轮长轴附近的齿面与齿根应力略有减小，短轴正向附近的各应力也缓慢减小至50 MPa左右，而短轴负方向附近的各应力略有增加。这是由于刚轮安装偏差往短轴正向偏移，使得短轴负向附近轮齿齿侧间隙变小，加大了啮合深度，因此齿上应力变大。而短轴正向附近的轮齿反之。对于杯底应力来说，啮合深度增加同时使啮合接触面增加，啮合受到的阻力增加，力矩随之增大，使得杯底最大应力增加。
凸轮安装位置误差对柔轮应力影响
提取δCFY∈(-1.00，1.00)mm时柔轮应力云图，观察齿上的最大应力、杯底最大应力、长轴齿面与杯底位置观测点 1、2应力的变化情况，进行多项式拟合绘制曲线如图7所示。
从图7 可以看出，随着凸轮轴向安装误差从-1 mm到1 mm变化，柔轮杯底最大应力几乎不变。长轴附近观测点1、2上的应力有先增后减的趋势，在δWFZ取0 mm左右，长轴观测点1、2均达到最大。当δWFZ∈(-0.25，0.25)mm范围时，柔轮齿面与齿根处观测点的应力变化非常小。柔轮齿上的最大应力变化较复杂，其随着凸轮安装位置从柔轮齿后端到前端先减小、后增大，在δWFZ取0.5 mm左右存在最小值。观察不同δWFZ的应力云图还可以发现最大应力位置从齿前端开始往齿后端移动。总体来看，应力大小变化不大，变化率为12.5%。
图8为柔轮齿上最大应力随长轴方向凸轮径向安装误差变化曲线，图9 为柔轮齿上观测点应力和杯底最大应力随长轴方向凸轮径向安装误差变化曲线。
结果表明，长轴方向的凸轮径向安装误差对柔轮齿上应力影响极大。这是由于凸轮长轴方向上的径向安装误差会对柔轮上实际径向变形量产生影响，而径向变形量对柔轮的应力影响显著。
图 10 为柔轮应力随短轴方向的凸轮安装径向误差变化曲线。随着短轴方向凸轮径向误差的逐渐增大，长轴附近的齿面与齿根观测点1、2应力呈下降趋势，短轴附近的点3、4 应力呈上升趋势。这表明较大应力区域将从长轴附近往短轴方向发生偏移，应力云图中应力分布的位置也随之改变，总体应力水平较低。
四、结语
1)长轴方向的刚柔轮中心距误差与凸轮径向安装误差对柔轮齿面与齿根应力影响最大，短轴方向的刚柔轮中心距误差与凸轮径向安装误差次之，凸轮的轴向位置误差影响最小。
2)短轴方向的刚柔轮中心距误差及长轴方向的凸轮径向安装误差对柔轮杯底应力略有影响，其余因素影响很小。
3)在谐波齿轮的装配过程中，应优先保证δCFY与δWFY的精度，再考虑δCFX与δWFX，最后确定凸轮轴向位置。
参考文献略.