磨削加工是齿轮加工的最后一道工序，对齿轮产品表面粗糙度的影响最为关键。研究发现齿轮表面粗糙度会影响齿轮的工作寿命和使用性能，表面粗糙度越大，在啮合过程中产生的摩擦力越大，容易产生微点蚀。在低速重载工况下，齿轮表面粗糙度越小，磨损越轻微; 在纯电动减速器中，齿轮表面粗糙度降低，噪声减少，齿面磨损速度减慢，从而提高齿轮寿命。
表面粗糙度是机械加工中描述表面微观形貌重要参数之一，它主要反映机械零件表面的微观几何形状误差。国标 GB /T 3505 - 1983 包含了轮廓算术平均偏差 Ra 在内的多个表面粗糙度参数，在机械制造行业中使用最为广泛。日本机械学会对齿轮传动失效实例进行的系统调查结果表明，约 74% 的齿轮传动失效是由于齿轮表面疲劳失效引起的，与齿轮啮合时的齿面粗糙度有直接关系。齿轮在实际服役过程中，通常处于高速、重载和冲击等工作环境，在交变载荷作用下，齿轮表面会在微观凸峰部位产生应力集中，引发材料表面微裂纹的扩展，最终导致齿面的接触疲劳，还会对齿轮的噪声和振动特性产生不利影响。
笔者以 17CrNiMo6 - 4 钢齿轮的蜗杆磨齿加工过程为研究对象，研究蜗杆砂轮加工参数对齿面粗糙度的影响。在此基础上建立了多目标优化模型，并采用多目标非支配遗传算法进行加工参数的优化求解。
一、实验研究
实验设计
实验材料为 17CrNiMo6 - 4，材料性能如表 1 所示。磨齿实验机床为德国 KAPP 公司的 KAPP - KX300p 数控磨齿机，采用德国马尔 xcr20 粗糙度仪测量齿面粗糙度。实验所用的蜗杆砂轮的参数与工件齿轮的参数如表 2 和表 3 所示。
实验零件磨齿前表面硬度为 59 ～ 62 HRC，硬化层厚度为 0.9 ～ 1.2 mm。最后一次加工直接决定零件的表面最终粗糙度质量，因此实验以最后一次精磨加工过程为研究对象。本次实验设计了砂轮线速度、砂轮轴向进给速度和砂轮单边磨削深度 3 个影响因素的 3 水平 9 次正交试验方案，参数水平是依据车间师傅的生产经验以及设备参数要求设置，实验参数如表 4 所示。
数据采集
采用国马尔 Xcr20 粗糙度仪测量齿面粗糙度，检测结果如表 5 所示。为了观测齿面两侧加工质量是否存在差异，分别统计左右两齿面的表面粗糙度。
二、数据分析
对获得的数据进行极差分析，表 6 为极差分析结果，Ti 为各因素在 i 水平表面粗糙度的总和， 
为各因素在 i 水平表面粗糙度的平均值，极差为
。
分析 3 个加工参数对左右齿面粗糙度的影响关系。图1为左齿面分析结果，可以发现对于左齿面而言，在实验砂轮轴向进给速度设定值内，随着砂轮线速度增加，齿面粗糙度值先增大后减小; 随着轴向进给速度的增大，齿面的粗糙度值没有变化; 随着磨削深度的增加，齿面粗糙度值先减小后增大。对于右齿面，在实验参数设置范围内，随着线速度增加，粗糙度先减小后增大; 随着轴向进给速度增大，粗糙度先增加后减小，但是变化值很小，几乎没有变化; 磨削深度增加，粗糙度后续逐渐增加，如图 2 所示。实验结果显示出 3 个影响因素对左右齿面粗糙度值有不一样的影响趋势，如图 3 所示，对左齿面粗糙度的影响因素由强到弱的是磨削深度、线速度、进给速度; 对右齿面粗糙度影响从大到小的是进给速度、磨削深度、线速。进给速度对于左右齿面而言，随着进给速度的增加，粗糙度值的变化都很小，说明进给速度对齿面粗糙度的影响不大。
对于左右齿面影响规律不一样的现象，郭宝安等分析磨齿加工过程，发现当齿轮旋转一定角度后，齿轮与蜗杆砂轮的接触面数量发生周期性变化。表明齿轮左右齿面受力不一致，齿轮加工过程中的形变不一致，从而导致左右齿面的齿面粗糙度受加工的影响规律不一样。蜗杆砂轮加工齿轮时，齿轮与蜗杆的传动可以近似为齿轮与齿条的传动，因此可以近似认为齿轮是由齿条刀具加工而成。通过软件 Gear TraxPRO2016 模拟齿轮与齿条的传动过程，可以发现齿面的接触点数量呈现周期性变化，如图 4 所示。当啮合转动一个 θ 角度后，接触点数从 5 个变成了 4 个，再转过一定角度后又有 5 个接触点，如此循环。
通过上面分析可知，在蜗杆砂轮磨齿加工过程中，加工参数对齿面粗糙度的影响不是简单的线性关系，而是各加工参数之间的综合影响结果。为进一步分析各加工参数对粗糙度的影响关系，采用二级逐步回归方法进行线性回归拟合。二级逐步回归能根据各因素对响应变量的影响大小而自主取舍变量，能较好拟合关系不明确的模型。将左右齿面数据拟合，得到粗糙度回归模型如式 (1) 和式(2) 所示。
式中: x1、x2、x3 分别为砂轮线速度、砂轮轴向进给速度和砂轮单侧磨削深度。
表 7 为左齿面粗糙度回归模型显著性检验结果，其中决定系数 R2 = 0.905，P 值为 0.091 4 > 0.05，表明对于左齿面而言模型的显著性较差。
表 8 为右齿面粗糙度回归模型显著性检验结果，其中决定系数 R2 = 0.995，P 值为 0.014 8 < 0.05，表明在 95% 的置信度下，回归模型具有较高的显著性，可信度高。对比右齿面粗糙度拟合值和检测值，如图 5 所示。从图 5 可知，右齿面粗糙度的模型拟合效果很好，可以准确地利用加工参数计算出粗糙度值。
对比左右粗糙度模型的拟合效果，右齿面模型显著度更高，可以推测在本案例中加工参数对右齿面的影响更为规律和显著，砂轮和齿轮之间的接触状态更加稳定。
三、磨齿加工参数优化
在实际生产过程中往往需要考虑多种条件下获得综合优化生产方案。磨齿加工过程中需要同时考虑加工效率和加工质量，因此将为获得加工效率和表面粗糙度综合优化加工参数展开研究。
优化目标
(1) 加工时间。减少加工时间是增加经济效益的重要手段。在加工过程中，一个零件的加工时间包括机加工时间、安卸时间、系统辅助时间以及工人休息时间。对于一件产品而言，除了机加工时间，其他时间相对固定，因此减少加工时间是提高生产效率的主要方式。蜗杆砂轮磨齿加工时间计算公式为:
式中: B 为砂轮运行距离，包括齿面宽和安全距离，这里等于 42.5 mm; vf 为砂轮沿齿轮轴向进给速度。
(2) 表面粗糙度。降低表面粗糙度是生产加工过程中另一目标。由于加工参数对齿面粗糙度的影响关系不一致，因此需要同时考虑左右齿面的粗糙度。虽然左齿面的模型显著性较差，但是右齿面的显著性很好，因此同时考虑左右齿面能更符合实际生产情况，表面粗糙度的回归模型为:
设计变量及约束
(1) 粗糙度约束。左右齿面都需要满足最大加工粗糙度值约束。
(2) 表面烧伤约束。齿面烧伤会影响齿面性能，因此必须保证加工过程中齿轮不被烧伤。根据小野浩二公式，需要满足:
式中: vc 为砂轮线速度; ap 为磨削深度; da0为砂轮直径; Cb 为材料烧伤临界值，不同的加工环境取不同的值。
在企业实际加工过程中发现当 Cb 值为 7 226 时发生轻微烧伤(线速度为 63 m /s，磨削深度为 0.015 mm) ，因此将此值作为临界值。即
根据设备说明书及砂轮规格，以及设备老化的缘故，确定精加工阶段加工参数的取值范围。
(3) 砂轮线速度约束为:
48 ≤ vc ≤ 58 (10)
(4) 轴向进给速度约束为:
23 ≤ vf ≤ 33 (11)
(5) 切深的取值范围约束为:
0.009 ≤ ap ≤ 0. 015 (12)
根据优化目标和约束条件得到优化模型:
优化算法的选择
本文研究的多目标优化问题、需要同时考虑多个可能拥有不同量纲、不同维度的目标函数，但是多个目标之间往往会相互制约，因此很难准确找出一个最优解，而是存在一系列不同的解，但是在这些解中，一定会至少存在一个解能使目标优于其它解，这样的解称之为非支配解，这些解的集合即为 Pareto 最优解集，Pareto 解集是被公认的多目标优化问题解的定义和表现形式。
笔者采用基于 Pareto 支配关系的多目标非支配遗传算法 NSGA - II( non- dominated sorting genetic algorithm II) 对蜗杆砂轮磨齿加工参数进行优化。NSGA - II 算法是由 Deb 等提出的，主要从提高非支配排序效率、利用拥挤度距离代替共享参数、引入精英保留策略等方面对非支配排序遗传算法 ( nondominated sorting genetic algo-rithm，NSGA) 进行了改进。NSGA - II 算法主要包括选择、交叉、变异等算子，选择机制主要是基于非支配排序和拥挤度距离来实现。在求解多目标优化问题中，NSGA - II 是目前应用最为广泛的多目标优化算法。
NSGA - II 算法的逻辑流程如下:
(1) 初始化种群。在自变量上下限搜索范围内，随机生成初始种群，并且验证计算每一组变量都满足方程约束。接着计算每组变量所对应的目标函数值，然后对获得的初始种群进行非支配排序，计算种群中每个个体的非支配排序等级和拥挤度距离;
(2) 种群繁殖。对父代种群按一定的比例进行选择、复制后，进行个体之间交叉操作或个体的变异操作，从而生成子代种群;
(3) 非支配排序。把父代种群和子代种群进行合并得到中间种群，并对其进行非支配排序;
(4) 选择生成父代种群。根据非支配排序等级和拥挤度距离结果进行选择，在非支配排序后的中间种群中，筛选与初始种群规模相同的个体生成下次迭代的父代种群;
(5) 判断终止条件。根据终止规则，如最大循环代数，若满足设定的规则，就输出最后筛选的种群当作最后进行计算的 Pareto 最优解; 否则返回选择、交叉、变异继续进行种群更新直到满足终止条件。
结果分析
在 MATLAB 软件里面进行算法运算，在种群为 500，运行次数为 2 000 的条件下得到初始解集如图 6 所示，最终解集如图 7 所示。从图 6 可知，在给定的自变量取值空间内，值域分布较为分散，表明 500 个初始解对应的取值空间分散分布。图 7 为算法运行的最终结果，可以看出值域分布比较集中，表明在多个目标之间相互制约的情况之下得到了一系列的解。
Pareto 最优解集只是为决策者提供了多种决策方案，为了使求解结果能更好地应用于实际，需要在众多的非支配解集中选择一个较优解作为最终解，即选取一个妥协解。妥协解取 Pareto 最优解中与理想解的相对距离最小解，称为妥协系数，相应的函数表达式为:
式中: PCS为妥协系数; (W，E，H) 为 Pareto 解的任意解; (W* ，E* ，H* ) 为理想解，其中 W* ，E* ，H* 分别表示以加工时间、左齿面粗糙度、右齿面硬度为单目标的最优解。
根据式(14) 计算妥协系数，取妥协系数最小对应的解为最优解。对于本次实验结果，PCS最小值为 0.229 8，对应的 3 个函数值为 ( 1.290，0.385，0.359) 。优化前的参数与优化结果如表 9 所示。
从表9可知，优化后的加工参数得到的加工时间为 1.29 min，相比于实际加工时间减少了 30.19% 。左右齿面的粗糙度分别为左齿面从 0.400 μm下降到 0.385 μm; 右齿面从 0.380 μm 下降到 0.359 μm，都得到了一定程度的改善。
四、结论
针对齿轮的磨削加工过程对齿面粗糙度的影响问题，以蜗杆砂轮磨齿加工为例进行了实验研究，分析了磨削加工参数与齿面粗糙度的关系，并建立了加工时间和粗糙度综合优化目标模型，采用多目标非支配遗传算法 NSGA - II 对蜗杆砂轮磨齿加工参数进行优化。通过研究得到如下结论:
(1) 在蜗杆砂轮磨齿加工过程中，砂轮线速度、砂轮轴向进给速度以及单侧磨削深度 3 个加工参数对齿面粗糙度的影响呈现一种多元交互影响关系，并且加工参数对齿轮左右齿面的粗糙度的影响关系不同。
(2) 在砂轮磨齿加工过程中，砂轮轴向进给速度对左右齿面的粗糙度的影响在试验范围之内随着进给速度的增加影响不大。轴向进给速度直接影响着加工效率，因此在一定范围内可以考虑尽可能将其值设定大一些。
(3) 采用 NSGA - II 优化算法可以在获得众多的非支配解中获得一个相对较优的解，推荐优化参数组能降低左右齿面的粗糙度，同时能提高 30.19% 的生产效率。
参考文献略.