螺旋伞齿轮以高传动比、低噪声及大传递转矩等优点广泛用于重型车辆的传动系统中。“铣齿—热处理—磨齿”是目前齿轮加工中普遍采用的生产流程。磨削作为齿轮生产制造环节中的最后一步，磨削表面完整性对齿轮的使用寿命具有极大的影响。磨削表面形貌是表面完整性的重要指标之一，对齿轮的耐磨性、抗疲劳强度及接触应力等起着关键作用。
通过研究砂轮磨粒和工件表面几何上的相互作用，建立磨削表面三维形貌仿真模型，可以预测和分析不同磨削工艺参数下加工工件表面形貌特征。许多研究学者对其开展深入的研究工作，并取得一些显著性成果。MALKIN详细阐述磨削过程中砂轮磨粒的运动轨迹，磨粒和被加工工件的相互作用以及切屑的生成机制，给出磨削参数对切削厚度的影响规律。CHEN 等研究磨削表面形貌的生成方法，并对磨削过程中的磨削力进行仿真分析，并通过试验验证所提理论模型的正确性。BUTLER 等采用三维测量技术对砂轮形貌进行测试，研究磨损砂轮和未磨损砂轮表面形貌的特点，以及不同砂轮磨削加工工件和砂轮形貌的关系。ZHOU 等根据实际砂轮表面磨粒形状、大小和分布密度不同的情况，指出砂轮表面磨粒高度呈随机的高斯分布状态。NGUYEN 等给出砂轮表面每个磨粒的切削轨迹，并将其映射到工件表面坐标系，取工件表面上每一点上所有磨粒轨迹的最小值，即得磨削加工后的工件表面的三维形貌。陈东祥等基于 JOHNSON 变换和线性滤波技术，生成不同统计学特征的砂轮形貌。根据磨削运动学，提出超精密磨削加工工件表面的仿真模型。巩亚东等为考虑砂轮与工件轴线之间夹角 α 对工件表面粗糙度的影响，基于砂轮表面磨粒的分布状态和磨粒运动学特征，给出点磨削工件表面三维形貌的生成模型。吕长飞等采用 JOHNSON 变换和 GABOR 小波变换在随机域内对磨削砂轮形貌进行仿真，并给出外圆磨削仿真模型，实现对加工工件形貌的仿真和粗糙度预测。
综上所述，虽然许多学者开展磨削加工工件表面形貌的仿真研究，但是较多以平面磨削、外圆磨削、点磨削等定曲率轨迹磨削为主。而螺旋伞齿轮磨削时，工件基于所设定的空间轨迹进行运动，其运动轨迹的曲率发生显著变化，从而影响砂轮磨粒在工件表面的切削干涉轨迹。因此，为了对螺旋伞齿轮磨削表面形貌进行预测，首先分析螺旋伞齿轮磨削磨粒运动学，然后建立砂轮表面形貌特征模型，最后利用磨削试验对所提出的模型进行验证，并对比分析磨削参数对螺旋伞齿轮磨削表面形貌的影响规律。
一、螺旋伞齿轮磨削磨粒运动学分析
普通平面磨削磨粒运动轨迹
螺旋伞齿轮的磨削加工是一个非常复杂的材料去除过程，为了简化分析的复杂性，进行如下假设：① 砂轮包络面修整为理想形貌;② 不考虑砂轮振动对工件表面形貌生成的影响;③ 当砂轮进给时，与磨粒切削刃接触的工件材料被完全去除;④ 不考虑测流和切屑瘤等现象。
在磨削过程中，由于磨粒沿砂轮径向的高度分布不均，导致不同磨粒切削轨迹分布在不同直径的同心圆上。单颗磨粒沿磨削路径在齿轮表面留下高低不平的切削痕迹，若干个磨粒在齿轮表面的切削痕迹相互叠加，形成了齿面最终磨削表面形貌。研究每颗磨粒的切削模型，并通过推导与变换获得其在齿面的运动轨迹。
在普通平面磨削过程中，单颗磨粒运动几何模型如图 1 所示，建立砂轮坐标系 o′x′y′z′和工件坐标系 oxyz。图 1 中 oxyz 固定在工件的加工表面并与砂轮周边最低处的磨粒位置重合。磨粒的运动轨迹 aob 由砂轮转动和工件平动所合成。根据图 1 中磨粒与工件之间的几何位置关系，磨粒 G 的运动轨迹方程如式(1)所示
式中，xi、zi 为磨粒 G 的瞬时坐标，θ 为磨粒转过相对角度，i 为工件沿 x 方向离散的点数，ri 为磨粒切削刃顶点至砂轮中心的距离，ns 为砂轮转速，vw 为工件速度。磨削方式为逆磨，若磨削方式为顺磨，则工作台的进给速度方向取反。
根据磨削过程运动学理论，可得磨粒 G 的运动轨迹为
砂轮磨削工件时，磨粒依次进入磨削区切割工件表面，后进入磨削区的磨粒对先前磨粒切削后的表面进行再次切削，因此需要对相邻磨粒的运动轨迹进行研究。相邻磨粒的运动轨迹如图 2 所示。假设磨粒 G1 的局部坐标系为 ox1y1z1坐标原点 o1与全局坐标系 oxyz 的原点重合，磨粒 G2 的局部坐标系为 o2x2y2z2。磨粒 G1 的运动轨迹为
式中，r1 为磨粒 G1到砂轮中心的距离。
由于局部坐标系 o1x1y1z1 与全局坐标系 oxyz 重合，所以磨粒 G1 在全局坐标系 oxyz 中的轨迹方程为
磨粒 G2 在局部坐标系 o2x2y2z2下的运动轨迹方程为
式中，r2 为磨粒 G2 到砂轮中心的距离。
砂轮中心移动距离 L 所需的时间与两颗相邻磨粒的工作时间间隔 Δt 相等，则
式中，φ 为相邻磨粒的夹角。可得
磨粒 G2在全局坐标系 oxyz 下的运动轨迹方程为
第 i 颗磨粒 Gi 在全局坐标系 oxyz 下的运动轨迹方程为
螺旋伞齿轮磨削磨粒运动轨迹
螺旋伞齿轮以“假想产型轮”原理进行加工，即通过假想产型轮与被切齿轮进行无隙的啮合，代表产型轮的砂轮在被切齿轮工件上加工出所需齿形。直口杯砂轮的内外锥面的包络面被修整为与螺旋伞齿轮凸面及凹面完全重合。磨削时，直口杯砂轮绕主轴以设定的磨削速度高速旋转，同时螺旋伞齿轮工件以设定的展成速度按特定的轨迹相对直口杯砂轮运动，其凸面、凹面分别与砂轮内侧、外侧接触，以此磨削出螺旋伞齿轮凸面与凹面的廓形。因此仿真时，假定螺旋伞齿轮工件保持不动，直口杯砂轮内侧及外侧以相同轨迹在螺旋伞齿轮凸面及凹面运动，同时绕其轴线高速旋转，如图 3 所示。
为了提高仿真精度，采用三维激光扫描显微镜 (基恩士 VK-X100)对螺旋伞齿轮曲面进行测量，平行于磨削方向的磨削沟痕为砂轮的相对运动轨迹。选取磨削方向上的一条轨迹线，提取其空间坐标，使用多项式对该轨迹线进行拟合，拟合方程如下所示
根据式(10)可获得凸面与凹面的螺旋线拟合方程，即为螺旋伞齿轮磨削时齿轮工件的运动轨迹线，亦为仿真时直口杯砂轮的运动轨迹。将式(10)的轨迹拟合方程，通过坐标转换，得到磨粒磨削螺旋伞齿轮时的运动轨迹。转换方程如下式所示，x'Gi 、z'Gi 为转换后磨粒在螺旋伞齿轮工件上磨削坐标。
二、砂轮表面形貌特征
砂轮表面的微观形貌是影响螺旋伞齿轮磨削过程材料去除的关键因素。螺旋伞齿轮工件磨削后表面质量及加工的效率主要取决于磨粒的大小、形状及分布状态。图 4 为使用基恩士激光扫描显微镜拍摄的粒度分别为 80 和 180 的 SG 砂轮表面微观形貌照片。由图 4 可以看到砂轮表面随机分布着磨粒，每颗磨粒都具有不规则的大小和形状，导致与螺旋伞齿轮表面接触压力不同，形成不同的切削深度。粒度为 M 的砂轮，其磨粒最大直径可以表示为
磨粒的平均直径可以表示为
根据 DOMAN 等提出的磨粒切刃高度服从 (μ，σ2 )正态分布，利用正态分布建立砂轮模型。在建立砂轮模型过程中，假定由砂轮磨粒大小影响并决定磨粒分布状态，设定切刃的露出高度符合正态分布即 hi 的分布函数如式(14)所示
式中，μ 为正态分布均值，μ=dgavg;σ 为正态分布方差，σ=(dgmax - dgavg)/3;M 为磨粒粒度。
同时假定砂轮表面相邻磨粒的平均间隔为
式中，S 为砂轮的结构参数，表示砂轮磨粒的体积含量
式中，Vg 为砂轮的磨粒的体积百分比。
砂轮仿真形貌如图 5 所示。可以看到，磨粒粒度越大，磨粒的尺寸越小且分布越密。
直口杯砂轮磨削螺旋伞齿轮为成型磨削，砂轮外侧与螺旋伞齿轮凹面相切，内侧与螺旋伞齿轮凸面相切。通过三维激光扫描显微镜对螺旋伞齿轮进行测量，提取垂直磨削方向的凹面和凸面接触轮廓线，对已建立的砂轮表面廓形进行补偿，获得与实际成型砂轮表面相吻合的砂轮表面形貌仿真模型。
三、螺旋伞齿轮磨削表面形貌仿真
完成直口杯砂轮表面建模仿真后，为了实现螺旋伞齿轮磨削表面形貌仿真，需要对齿面进行离散化处理。齿面采用拓扑矩阵 gmn 来表示，矩阵中每个元素 g(m, n)表示在全局坐标系 oxyz 中齿面 xy 平面中各网格点(m, n)对应的 z 向坐标值，即求解得出的磨削后齿面的残余高度值。对砂轮表面进行离散化处理，并用拓扑矩阵 hij 表示，其中 h(i, j)表示在砂轮周向和轴向(i, j)位置的磨粒高度。砂轮磨削齿面过程可以看成是由 j 个 xoz 截面上的 i 颗磨粒先后对表面进行刻划的过程。计算从第 1 个到第 j 个截面上的第 1 个到第 i 颗磨粒的运算轨迹并进行存储。在工件平面 gmn 上的每一个点 g(m, n)上就对应了若干条轨迹线在该点的值 zi(m, n)。由于磨削为材料去除加工，因此在一个特定的坐标位置上轨迹 z 坐标值最小的磨粒将决定工件最终决定齿面在该点的状态，则磨削过后最终的齿轮工件表面形貌可表示为残留在工件表面的轨迹线最低值的集合，即
螺旋伞齿轮磨削加工表面形貌仿真过程如下。
(1) 设置磨削参数和砂轮几何参数，定义工件网格大小，用拓扑矩阵 gmn 表示。工件平面上的每一个点 gij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)表示工件表面各网格点对应的 z 向高度值。
(2) 将磨粒离散点与矩阵元素对应起来。根据(x, y)与工件高度矩阵 gij 的下标(i, j)的对应关系，判断磨粒离散点 G 与工件网格点的对应关系。当磨粒离散点 G 的坐标(x, y)刚好落在工件网格点(i, j)上时，就说明该点刚好与矩阵元素 gij 对应，否则，找到(x, y)最接近的工件网格点(i, j)，用该网格点所在的矩阵元素 gij 对应此点。
(3) 切削判断。比较当前时刻选定的磨粒上离散点 G 在工件坐标系中的高度方向坐标值 z 和对应矩阵元素 gij的储存值。如果 z 小，则说明磨粒已经切入工件，这时用 z 更新 gij 的储存值。否则不作任何处理。
(4) 根据矩阵 gij 中的寄存数据绘制表面三维形貌图。螺旋伞齿轮磨削表面形貌仿真流程图如图 6 所示。
四、试验验证
螺旋伞齿轮磨削试验结果分析
螺旋伞齿轮磨削试验在 Gleason-600G 数控磨齿机上进行，采用单因素试验法，探究磨削速度 vs，展成速度 w 及磨削深度 ap 对齿面粗糙度的影响规律。砂轮采用诺顿直口杯 SG 砂轮，试验装置如图 7 所示。螺旋伞齿轮磨削工艺参数如表 1 所示。加工过程中，每个齿槽分别对应一组参数。磨削加工完成后沿齿轮大端方向向内约 10 mm 深线切下齿样，并将齿样在超声波清洗机中清洗干净。使用白光干涉仪(CCILITE-M112)测量齿面形貌及粗糙度。
白光干涉仪拍摄的磨削后齿面形貌如图 8 所示。
图 9 为不同磨削参数磨削后齿面粗糙度变化曲线图。可以看到随着磨削速度与展成速度的增加，齿面粗糙度皆下降;随着磨削深度的增加，齿面粗糙度升高。
螺旋伞齿轮磨削仿真结果分析
使用与磨削试验相同的参数进行仿真，仿真结果如图 10 所示。将仿真图 10 与试验测量图 8 进行对比，图 10a、10b 分别为螺旋伞齿轮凹面与凸面的齿面形貌仿真图，其与图 8a、8c 试验后拍摄的齿面形貌总体一致。图 10a、10d 分别为不同磨削深度磨削后的齿面形貌仿真图，随着磨削深度的增大表面划痕加深，其与图 8a、8b 试验后拍摄的工件表面形貌具有一致的规律。图 10a、10e 分别为不同磨削速度磨削后的齿面形貌仿真图，随着磨削速度的增大表面纹理趋于致密，其与图 8c、8d 试验后拍摄的工件表面形貌具有一致的规律。
对各螺旋伞齿轮仿真形貌图进行对比，分析不同工艺参数对螺旋伞齿轮表面形貌的影响原因。对比图 10a 与 10c 可以看到，砂轮粒度增大，磨粒密度增大，砂轮表面磨粒突出高度减小，磨削时同时参与磨削的磨粒数增加，有利于提高磨削表面质量。对比图 10a 与 10d 可以看到，磨削深度增加，单颗磨粒未变形切削厚度增大，磨粒对齿面的划痕加深，使磨削表面质量降低。对比图 10a 与 10e 可以看到，随着展成速度的增加，每颗磨粒在齿面刻划长度增长，相邻磨粒切削后留下的齿面残留高度减小，齿面磨削质量有所提高。对比图 10a 与 10f 可以看到，磨削速度提高单位时间内有效磨粒数增加，随着每个砂轮磨粒在工件表面上切削次数增多，在多个磨粒累计切削作用下，加工表面残余高度减小，使得加工表面质量得到提高。
通过对比仿真与试验的结果，验证直口杯砂轮磨削螺旋伞齿轮时磨粒运动模型的正确性和有效性。同时说明采用数值仿真的方法可以分析不同磨削参数对螺旋伞齿轮磨削表面形貌的影响规律。在分析某一加工参数对螺旋伞齿轮磨削表面形貌影响时，数值仿真的灵活性可以有效地排除其它干扰因素，准确高效地给出两者之间的区别。因此，基于螺旋伞齿轮磨削磨粒轨迹建立的表面创成模型可以 用来预测加工表面形貌，并减少试验次数从而达到广义的分析效果。
五、结论
(1) 基于正态分布模型和砂轮表面磨粒实际大小，对砂轮表面形貌进行仿真。根据磨削运动学原理，建立了螺旋伞齿轮磨削磨粒切削运动模型。并选择有效磨粒与工件的干涉痕迹，生成了工件表面的三维数值形貌。
(2) 仿真与试验所得工件表面微观形貌特征基本一致，验证了提出的磨削表面生成算法的正确性和有效性。综合试验与仿真结果可知提高磨削速度与展成速度、增加磨粒粒度皆有利于获得良好的磨削表面形貌。
(3) 该模型可以生成不同工艺参数的螺旋伞齿轮磨削表面形貌，并可用于分析螺旋伞齿轮磨削表面形貌的产生过程及各加工参数对其影响机理。
参考文献略.