变厚齿轮连续展成磨削数值模拟研究

 　　加工仿真是验证加工方法和研究加工精度的重要手段，基于三维建模软件和专用软件的加工仿真存在实现复杂、仿真精度低等缺陷，针对变厚齿轮的连续展成磨削这一新工艺，在分析锥形蜗杆设计以及锥形蜗杆磨削变厚齿轮运动的基础上，建立了锥形蜗杆的数学模型，并且建立了锥形蜗杆磨削变厚齿轮的数字仿真模型。以某一变厚齿轮为例，将变厚齿轮理论模型与数字仿真模型进行对比，验证了所建立的仿真模型的准确性。所建立的锥形蜗杆加工变厚齿轮的数字仿真模型为变厚齿轮连续展成磨削精度的研究以及复杂修形变厚齿轮连续展成磨削精度方法的研究奠定了基础。

　　变厚齿轮是一种更普通的渐开线齿轮。其主要几何特点是：沿齿轮轴线方向，变位系数及齿厚呈线性变化。变厚齿轮副可以实现平行轴、相交轴以及交错轴传动;通过调整齿轮副相对轴向位置实现无侧隙的精密传动。变厚齿轮传动还具有传动精度高、噪声小、可实现小倾角传动等优点。因此，被广泛应用在精密传动机构、无侧隙机器人 RV 减速器、船舶齿轮箱以及汽车传动系统等方面。

　　目前，国内外学者对变厚齿轮的加工进行大量研究。日本学者 Mitome根据变厚齿轮的几何特性，提出了往复式磨削、基座倾斜式滚齿法以及基座滑移式滚齿法，通过实际加工实验证明，基座倾斜式滚齿法是最实用的方法。毛建忠等人提出了使用插齿机加工变厚齿轮的方法，探讨了刀具的插齿角度对变厚齿轮齿厚的影响，并提出得到了最优的插齿角度优化方法。温建民等提出了使用大平面砂轮磨齿机加工非渐开线变厚齿轮的方法，通过实验验证了所提方法的可行性。2018 年，李国龙等根据变厚齿轮的成形特点，提出了使用锥形蜗杆砂轮连续展成磨削变厚齿轮的方面，通过加工仿真实验验证了所提磨削方法的正确性，实现了变厚齿轮的高效、精密磨削。

　　随着传动系统对传动精度以及传动噪声等要求的提高，变厚齿轮的高精、高效制造以及复杂修形变厚齿轮的制造是变厚齿轮的加工趋势。加工仿真是验证加工方法和加工精度的重要手段。目前常用三维和建模软件以及一些专用软件存在设置复杂、仿真精度低等问题。本文针对变厚齿轮的连续展成磨削方法，建立了锥形蜗杆的数学模型和锥形蜗杆磨削变厚齿轮的数学模型。

　　一、锥形蜗杆参数设计

　　图 1 是锥形蜗杆加工变厚齿轮的示意图。为简单起见，用锥台示意锥形蜗杆。图中：平面 Q 为过锥形蜗杆轴线的平面;平面 P 为产型齿条的中性面;直线 L 为平面 P、Q 的交线;γ 是锥形蜗杆的锥角;β_I 是锥形蜗杆的安装角。根据文献 1，为实现无干涉的连续展成磨削变厚齿轮，以上几何元素需满足以下条件：①锥形蜗杆轴线与面 YOZ 平行;②平面 P 与平面 Q 垂直。

　　为方便计算，建立了如图 2 所示的坐标系。图中：δ 是变厚齿轮的轴向后角，P₁ 是平面 Q 与产型齿条中性面交线与轴 Z 的交点，P₂ 是平面 Q 与面 YOZ 的交线和轴 Y 的交点，P₃ 是平面 Q 与产型齿条中性面交线与面 XOY 的交点。令点的 X、Y、Z 轴的坐标分量为 x₁、y₁、z₁，根据前述的几何条件，可得点 P₃ 的坐标分量 x₃、y₃、z₃。

　　式中：β 为变厚齿轮螺旋角;λ 为锥形蜗杆的平均导程角。

　　因为平面 Q 与平面 P 垂直，可得点 P₂ 的坐标分量 x₂、y₂、z₂：

　　由此计算锥形蜗杆的锥角 γ 及安装角 β_I：

　　锥形蜗杆的左右齿形角 α_l、α_r：

　　式中：α_n 为产型齿条的法向压力角。

　　二、锥形蜗杆磨削变厚齿轮模型

　　锥形蜗杆模型

　　锥形蜗杆的左右齿面可以看成是由蜗杆左右轴截面廓形沿锥形螺旋线扫略生成。图 3 是锥形蜗杆齿面示意图。图中：坐标系 S_c 为参考坐标系，坐标系S_m 为可动坐标系;锥形蜗杆左右齿面轴截面廓线与坐标系 S_m 固连;在锥形蜗杆的大端，坐标系 S_c 与 S_m 原点的距离为 R_B(锥形蜗杆大端分度圆半径)。

　　在坐标系 S_m 中，锥形蜗杆左右齿面轴截面廓线的方程如下：

　　式中：u 为自由变量;P 为锥形蜗杆的平均导程。坐标系 S_c 与坐标系 S_m 间的转换矩阵 M_cm 为：

　　综上，可得到锥形蜗杆左右齿面的方程：

　　锥形蜗杆磨削变厚齿轮建模

　　与普通圆柱渐开线齿轮连续展成磨削一样，锥形蜗杆磨削变厚齿轮过程中，锥形蜗杆与变厚齿轮的齿面是点接触。每一瞬时的接触点就是锥形蜗杆与变厚齿轮的啮合点，通过计算锥形蜗杆每一时刻与齿面的啮合点，可以算出完整的变厚齿轮的齿面。

　　图 4 是锥形蜗杆磨削变厚齿轮的坐标系示意图。图中：坐标系 S_f 与坐标系 S₁ 为固定坐标系，其中轴 Zf 与变厚齿轮的轴线共线，轴 Z₁ 与锥形蜗杆的轴线平行，当锥形蜗杆在初始位置时锥形蜗杆的轴线与轴 Z₁ 重合;坐标系 S_g 与变厚齿轮固连，随变厚齿轮绕轴线做旋转运动;坐标系 S_c 与锥形蜗杆固连，随锥形蜗杆做自身轴线的转动和平动;θ_g 是齿轮绕自身轴线旋转角度;θ_c 是锥形蜗杆绕自身轴线旋转的角度。各坐标系间的转换矩阵如下：

　　在锥形蜗杆磨削变厚齿轮过程中，锥形蜗杆主要完成绕自身轴线的运动与沿齿轮轴线直线运动，这两个运动是相互独立;变厚齿轮仅做绕自身轴线的转动。所以，锥形蜗杆磨削变厚齿轮是一个双自由度的啮合运动。根据文献，锥形蜗杆与变厚齿轮的啮合点满足啮合方程：

　　啮合方程在任意坐标系中均是成立的。为计算方便，将锥形蜗杆磨削变厚齿轮啮合方程的求解统一到坐标系 S₁ 中。在坐标系 S₁ 中锥形蜗杆左右齿面的方程为：

　　在坐标系 S₁ 中，锥形蜗杆左右齿面上任一点处的法向量为：

　　令锥形蜗杆绕自身轴线的旋转角速度为 ω_c，沿齿轮轴线斜向下的移动速度为 V_c。对于锥形蜗杆左右齿面上任意一点，在坐标系 S₁ 中的速度可以表示为：

　　其可以看成由 V₁^c1 、V₁^c2 两部分组成：

　　齿轮的转动角速度 ω_g 不仅受锥形蜗杆的转动速度 ω_c 的影响，还受锥形蜗杆的移动速度 V_c的影响。ω_g 的计算公式如下：

　　式中：z_c、z_g 分别是锥形蜗杆的头数和变厚齿轮齿数;r 为变厚齿轮分度圆半径。

　　在坐标系 S₁ 中，变厚齿轮齿面上任意点处速度为：

　　其可以看成是由 V₁^g1 、V₁^g2 两部分组成，其中;

　　所以，变厚齿轮左右齿面与变厚齿轮齿面任意点处的相对速度为：

　　由此，可以得到锥形蜗杆磨削变厚齿轮的啮合方程：

　　其是一个含有 3 个未知量 u、θ、_θc 非线性方程。

　　由于 ω_c、V_c独立，上式可以分成 f₁、f₂ 两个独立方程：

　　在求解时，通过给定从锥形蜗杆齿根(齿顶)变化的 u 的值，通过上式可求解 θ、θ_c。假设啮合点在锥形蜗杆齿根处(u = u₀ )的 θ、θ_c 值分别是 θ₀、θ_c0;锥形蜗杆齿面任一点为啮合点时的 u、θ、θ_c 为 u_i、θ_i、θ_ci。将啮合点的坐标转换到齿轮坐标系 Sg 中即可得到变厚齿轮齿面。可得到变厚齿轮左齿面表达式：

　　转换矩阵 Mgf 中齿轮转动角度 θ_g 的计算如下：

　　三、数字实例

　　针对表 1 的变厚齿轮数据，设计了锥形蜗杆参数(表 2)，并利用所建立的锥形蜗杆磨削变厚齿轮齿轮的数字模型计算变厚齿轮仿真模型。并将仿真模型与理论变厚齿轮进行了对比。

　　图 5 是锥形蜗杆磨削变厚齿轮数字仿真得到的变厚齿轮左右齿面。将由数字模型算得的齿面与理论变厚齿轮的齿廓对比，得到数字模型与理论齿廓间的全齿面误差(如图 5 所示)。

　　由图 6 可知，有数字仿真算得的变厚齿轮磨削齿面与理论的齿面间误差极小，最大误差仅 0.15 μm。并且，误差具有在齿廓方向呈抛物线状的特点。

　　四、结论

　　本文针对锥形蜗杆磨削变厚齿轮的数字仿真进行了研究。对展成磨削变厚齿轮的锥形蜗杆的设计方法进行了推导，建立了锥形蜗杆的数学模型。分析了变厚齿轮连续展成磨削的运动过程，建立锥形蜗杆磨削的变厚齿轮的数学模型。最后，以某一变厚齿轮为例，将由锥形蜗杆磨削变厚齿轮仿真模型得到的数字齿面与理论变厚齿轮的齿面进行了全齿面的误差分析，结果显示误差极小，验证了建立模型的正确。

　　参考文献略.