精密减速器摆线轮制造误差的数字化测量

 　　摘要：摆线轮的制造误差是影响精密减速器传动精度的重要因素。基于使用一维测头的齿轮测量中心提出了一种精密减速器摆线轮制造误差的数字化测量方法,该方法能够快速而精确的实现摆线轮制造误差的测量。通过建立摆线轮的理论齿廓模型和误差测量模型,计算得到了测头的理论运动轨迹。根据精密测量原理,通过采取实际齿廓的 NURBS拟合以及实际齿廓与理论齿廓的最佳匹配处理,构建了摆线轮制造误差精确计算过程及制造误差处理的数学模型,通过采用优化迭代算法求解得到了摆线轮的实际制造误差。在国产JB45型齿轮测量中心上对摆线轮的实际齿廓进行了实际检测,验证了该方法的准确性和有效性。

　　精密减速器是高精度卫星天线、机器人及精密机床等设备中的核心零部件。目前,国内精密减速器存在传动精度低、承载能力不足等问题,高质量的精密减速器主要依赖进口,影响了国产精密减速器的发展。摆线轮是精密减速器传动系统的核心零件,存在加工齿廓偏离理论设计齿廓程度较大的问题,且缺乏专用的摆线轮加工精度测量设备,因此无法对制造误差进行预控,这是影响精密减速器承载能力和啮合传动精度的核心问题。

　　随着科技的快速发展,对精密减速器品质和性能的要求越来越高,因此,摆线轮的加工制造精度问题日益凸显。从摆线轮误差测量方面来看, 传统的测量方法,如顶根距、双量棒、外公法线等, 只限于对齿轮上的特殊点进行检测,难以反映摆线轮整体的误差情况,更难以保证摆线轮高精度加工的稳定性。文献采用极坐标测量方法完成相应测量仪器的开发,但并没有投入使用。此外,摆线轮的制造误差可以采用三坐标测量仪准确获取,但需要配套的驱动程序,成本高,难以精确控制数据处理过程,至今未得到广泛应用。以上方法可对摆线轮的高精测量提供借鉴和参考。

　　胡文石通过对摆线轮的空位置度、孔内径和圆度等关键技术的研究,实现了摆线轮的误差检测,在一定程度上提高了精密减速器的装配精度。孙彬等和李兵等采用接触式电感传感器完成了摆线轮测量系统的开发以及关键尺寸的检测,实现了摆线轮加工误差的测量与评定。Fang等通过分析摆线轮在测量过程中影响测量精度的因素,完成了齿面数学模型的构建,并设计了摆线轮在测量过程中轴线对角度误差的补偿方法,提高了摆线轮的测量精度。上述方法均可实现摆线轮齿廓误差的高精度检测,但获取摆线轮制造误差的整个过程均基于三维测头的齿轮测量中心,三维测头价格不仅昂贵,而且关键技术进行知识产权保护,不利于与国内加工机床形成闭环。近年来,一维测头测量技术及应用快速发展, 已掌握测量路径规划和数据补偿等关键技术,能够准确完成锥齿轮等复杂齿面的误差检测,测量精度与重复性能满足工程需求。此外,一维测头价格低廉,运动控制相对容易,且可与国内齿轮加工机床形成闭环联系,已成为齿轮加工企业进行摆线轮精度控制的重要设备。Dai等和 Li 等使用一维测头准确完成了锥齿轮复杂型面的齿面偏差测量与评定。因此,通过基于一维测头的齿轮测量中心代替基于三维测头的齿轮测量中心能够探明摆线轮的精密测量处理过程、方法以及制造误差补偿等技术,进而可以准确且快速的获知其制造误差。这不仅可以对摆线轮加工 质量进行有效检测和评定,而且对其它相关零部件制造误差的准确控制十分重要。

　　鉴于此,本文基于国产的JB45型齿轮测量中心提出了一种基于一维测头的摆线轮制造误差数字化测量方法。根据摆线轮成形和测量模型,计算齿廓测量所必需的理论数据,基于测头的实际运动轨迹数据,深入分析摆线轮制造误差计算过程与方法、构建误差模型,进而获取摆线轮的实际制造误差。通过国产齿轮测量中心的检测结果验证了所提出测量理论和处理方法的正确性。

　　一、实际齿廓的数字化检测

　　理论齿廓是检测摆线轮制造误差的基准齿廓, 不仅可以通过与理论齿廓的对比,评估实际齿廓的偏差,从而确保传动比的精确性,而且理论齿廓提供了测量基准,帮助确定摆线轮在齿轮测量中心上的正确位置,从而保证测量结果的准确性。因此, 完成理论齿廓的构建对于摆线轮的准确测量尤为重要。文献对其进行了详细的论述。理论齿廓及其法矢可表达为

　　式中:φ为轮齿转角(范围为0~360°);Φ 为摆线轮加工参数集合。

　　根据精密检测原理可知,测头是半径为r的测球,会对摆线轮的测量过程造成一定影响。综合考虑到测头半径r的影响,齿廓检测得到的是测球球心的运动坐标。根据测头半径补偿原理可得工件坐标系S_W 下测球的理论运动轨迹R_e

　　在测量过程中,齿轮测量中心采用坐标测量原理,测头首先运动至被测齿坯的某一齿廓参考点的理论位置,然后测量中心回转工作台自动旋转使得摆线轮完成被测齿廓的靠齿动作。之后,计算机根据摆线轮被测齿廓的理论数据控制直线轴Y 和旋转轴C 的插补运动。各坐标轴运动过程中,测头始终与齿廓保持接触(测头电感部分需增设随动跟踪机构),计算机连续采集各接触点的实际坐标值,并存储起来,直至摆线轮绕中心轴连续转动旋转一周或完成单个齿廓的测量,则检测结束。通过实际齿廓与理论齿廓的比较处理后即可计算得到摆线轮实际齿廓的制造误差。因此,为准确明晰摆线轮制造误差的获取过程,建立图1所示的摆线轮实际齿廓检测数学模型(由三个直线轴 X、Y、Z 和两个旋转轴B、C 组成)。

　　由图1可建立图2所示的工件坐标系和测量坐标系的转换关系模型。工件坐标系 S_W (X_W ,Y_W ,Z_W ) 和测量坐标系S_C (X_C,Y_C,Z_C ) 分别固连于轮坯和齿轮测量中心,O_C 为旋转工作台的中心。S_d (X_d,Y_d,Z_d ) 为辅助坐标系。直线位移量 L 用于被测轮坯定位,由测球高度确定;β为 S_W 与 S_C 间的转角偏移量,其确定因素包括测球位置和被测齿廓,用于获取被测齿廓位置。

　　在实际测量过程中,需要将被测摆线轮的工件坐标系转换至测量坐标系中进行测量,即将轮坯由工件坐标系S_W 向测量坐标系S_C 进行空间变换,得

　　式中,

　　轮坯位移量L 确定后,由于仍存在回转自由度 (β,图1),因此,需要确定实际齿廓与理论齿廓在坐标系S_C 中的相对位置关系,即确定实际齿廓上测量参考点K 的位置(图3)。测量参考点是测量起始点,通常可以选择齿顶、齿根和节点位置,并认为理论齿廓和实际加工齿廓在该测量参考点处的制造误差为0,剩余点的制造误差可根据测量点与参考点的相对位置得到。

　　通常在齿顶和齿根位置修形量较大,以便于储存润滑油和装配,但不参与轮齿的啮合传动,不宜参与轮齿定位;而在节点位置的修形量极小,位于轮齿接触的主要齿廓段中,可保证啮合齿廓具有良好的啮合传动,利于被测齿廓定位,因此,选择齿廓节点作为测量参考点进行被测齿廓定位。

　　为准确获取摆线轮齿廓的制造误差,测头首先在参考点接触,然后对整个齿廓进行检测,并对测量结果进行处理即可。

　　二、实际齿廓的误差计算

　　由于基于齿轮测量中心完成齿廓测量后获取的仅仅是离散齿廓坐标点,无法直接根据离散齿廓坐标点完成实际齿廓误差计算,需采用拟合算法对离散坐标点进行曲线拟合,进而完成实际齿廓误差计算。非均匀有理 B 样条(Non-Uniform Rational B-spline,NURBS)法广泛用于计算机图形学中。在工程领域,NURBS法在 CAD/CAM 中有强大的造型功能,因而被各类主流的几何造型系统作为曲线曲面唯一的表示方法。在实际应用中,它能够精确表示二次、三次 NURBS 曲线曲面。NURBS 能够精确、灵活地描述复杂的二维和三维几何形状, 从而在产品设计、制造等领域发挥重要作用。因 此,采用 NURBS算法完成实际齿廓的拟合,并在此基础上进行后续分析。

　　定义沿着理论齿廓R 被测点处的法线方向n, 实际齿廓R^* 与理论齿廓R 的法向距离为齿廓误差 δ ,如图4所示。沿着法矢n的方向,过齿廓R 上一点P0 ,交齿廓R^* 上与点P₀ 相对应的点P^* ,P₀P^* 为这两点间的齿廓偏差δδ 的几何描述。

　　理论齿面上每一点都对应唯一δ,所以可以认为δ与曲线坐标φ 有关,且由式(1)可确定Φ 是φ 的参变量。则齿廓误差可表示为

　　则,可得测头实际运动轨迹R^*_e 为

　　式中,n^* 为实际齿廓R^* 的法矢。

　　值得注意的是,在摆线轮的测量过程中,实际齿廓与理论齿廓的相对位置不是完全贴合的,为减小或消除测量基准不重合误差及齿距误差,对于摆线轮这种回转体零件来说,需要实际齿廓向理论齿廓作最佳匹配处理,进而使得实际齿廓与理论齿廓完全贴合。以测量所得的离散测量数据点上的齿廓误差平方和最小为目标函数,以 X、Y 轴的移动量 Δx 和Δy ,Z 轴的转动量Δz 为设计变量,通过单纯形法等数值迭代方法寻求移动量和转动量的最优值。建立曲线匹配模型为

　　式中:n 为被测点的个数;D 为被测点间的法向距离。采用单纯形法对式(6)进行求解。

　　实际齿廓与理论齿面最佳匹配后,曲线形状并未发生变化,将匹配后的R^*_e与R_e作比较,得

　　将式(4)代入(7),根据微分几何原理得

　　测头半径r和参数Φ 已知,测头实际轨迹 R^*_e 由 NURBS重构确定,理论齿面R 和法矢n 由式(1) 得到。因此,式(10)是一个以δ和φ 为变量的非线性方程组,由牛顿-拉菲森算法求解可得到相应的齿廓制造误差。

　　三、实验验证

　　以国产的JB45型齿轮测量中心和1700RV 减速器中的摆线轮来验证文中理论和方法的正确性。表1所示为被测轮齿的几何参数。在工件坐标系下,以等转角φ的方式在被测齿廓上选择3600个点,并进行相应的数字化处理。实验中对某单一齿廓进行检测,表2所示为工件坐标系下单一齿廓主要被测点的理论位置坐标和法线方向坐标。

　　选取直径为2mm 的测头,并根据式(2)获取工件坐标系下的测头中心理论运动轨迹后,由式(3) 可将理论坐标和法矢转至测量坐标系下。将摆线轮安装于图5所示的JB45型齿轮测量中心上,在测头接触测量参考点后即可确定被测齿廓位置,并根据测量参考点位置完成测头的靠齿定位动作。采用点阵式测量方法对被测点进行检测,由此获取测球中心的实际运动轨迹坐标。对测球中心检测数据进行半径反补偿处理,由此获取实际齿廓坐标值。

　　基于测量坐标系下的摆线轮齿廓离散坐标值和 NURBS算法完成对实际齿廓进行拟合,拟合的最大误差为9.5×10^-10 mm,满足要求。齿廓R^* 与齿廓R 匹配时,转换矩阵中的轮坯最佳转动量为 0.003°,最佳移动量Δx =3.6mm,Δy =1.5mm,目标值F_min =2.7856。检测时,芯轴定位精度在2 mm 以内,所以齿廓最佳匹配修正量和目标函数值减小量较小。

　　齿廓误差精确计算后得到该摆线轮的齿廓误差和齿距误差,如图6和7所示。

　　图6中,该摆线轮的最大齿廓误差为89.4 mm, 平均齿廓误差为88.9 mm;图7中,径向跳动、齿距偏差、齿距累积偏差和顶根距变化量的具体值分别为9.2、6.1、27.6和19.2 mm,符合实际齿形公差和齿距公差的要求。

　　由上述实验验证结果可知,文中所提出的摆线轮制造误差数字化检测理论和方法在国产测量中心上的结果准确、高效。

　　四、结论

　　基于一维测头的齿轮测量中心提出了一种精密减速器摆线轮制造误差的数字化测量方法,并在国产JB45型齿轮测量中心上对该方法进行验证。结果表明:精密减速器摆线轮制造误差检测软件系统的实际应用验证了该理论方法的实用性;该数字化测量方法,不仅拓展了齿轮测量中心的功能,而且能够快速而准确的测量和评价摆线轮的制造误差,从而可为国内精密减速器摆线轮制造精度的评价、监控和改善提供技术支持。

　　参考文献略.