为更准确表达柔轮变形后的轮齿的位置，课题组最先提出柔轮中性层变形曲线的精确算法，计算变形后柔轮齿圈切向位移引起的转角和轮齿对称线相对于径矢的转角、及其变形后啮合端齿廓的共轭位置。从设计角度看，为了增大承载能力，提高传动刚度，应考虑如何获得更宽的包络存在区间，使更多的齿参与啮合。课题组对公切线型双圆弧齿廓进行了设计研究(图6a)，经过合理设计的双圆弧齿廓能够在齿顶和齿根实现二次共轭(图6b)，并因其具有优良的共轭设计性能，其侧隙分布结果(图6c)相对渐开线齿廓也更小、更平均。
(2) 三圆弧齿廓
公切线型双圆弧齿廓虽然具有较大的共轭区间，但其公切线特征使得其共轭区间并不连续。为此，课题组提出了将公切线重新设计为公切圆弧的新型三圆弧齿廓设计方案(图6d、e)，三圆弧齿廓通过中间圆弧的设计，实现了齿顶和齿根连续的共轭啮合区间(图6f)，共轭啮合区间相比公切线双圆弧齿廓显著增大。三圆弧齿廓的包络存在区间显著增大，参与共轭啮合的齿对数增多，可有效提高承载能力。
(3) 摆线齿廓
谐波齿轮柔轮变形后与刚轮间的相对运动轨迹近似呈摆线特征，课题组从啮合运动轨迹的曲线特征出发提出了一种变系数摆线齿廓(图6g)及其设计方法。变系数摆线齿廓主要由齿顶摆线和齿根摆线构成，两段齿廓之间可以由公切线连接。与双圆弧齿廓类似，变系数摆线齿廓的齿顶和齿根也具有多次共轭的现象，其具有从短轴到长轴的连续共轭范围(图6h)。由于系数的可设计性，变系数摆线齿廓可以获得更加均匀的微小侧隙(图6i)。
图6 双圆弧、三圆弧及摆线齿廓设计：(a) 公切线型双圆弧齿廓; (b) 双圆弧齿廓的二次共轭设计; (c) 双圆弧齿廓的啮合侧隙; (d) 三圆弧柔轮齿廓; (e) 三圆弧刚轮齿廓; (f) 三圆弧齿廓的共轭范围; (g) 变系数摆线齿廓; (h) 变系数摆线齿廓的共轭范围及多次共轭; (i) 变系数摆线齿廓的啮合侧隙.
2.2 三维齿形共轭设计与修形(1) 线接触连续共轭三维齿形通过在沿齿圈轴向分布的多个截面上进行共轭计算，可以近似获得谐波齿轮的共轭三维齿形，这种齿形在每个截面上都可以获得各自的大共轭范围啮合。课题组以变系数摆线齿廓为例，进行了线接触连续共轭三维齿形的设计(图7a)。这种齿廓不仅可以在从短轴到长轴的整个啮入区进行共轭啮合，在长轴往短轴去的小部分区域内也具有共轭啮合特性，将共轭区间扩展至超过90°。线接触连续共轭三维齿形具有在较大范围内优异的共轭能力，但由于齿廓沿齿向持续变化，因此加工困难。(2) 点接触连续共轭三维齿形如果以单一截面的共轭齿廓做圆柱直齿轮方案，则会在齿圈设计截面前后出现不同的干涉(图7b)。为了避免干涉并获得易于加工的连续共轭齿形，课题组提出了多截面共轭再包络的齿形及其设计方法：以公切线型双圆弧齿廓为例，对多个截面上柔轮齿廓进行共轭计算，并对共轭结果进行再包络，获得最终的刚轮齿廓(图7c)。该方案的三维齿形中，柔轮和刚轮在短轴到长轴的啮合运动中，共轭啮合点从齿顶到齿根、从后端往前端持续移动实现了连续的共轭啮合。该方案齿形在每个截面上都显著减小了共轭区间，会导致啮合性能的损失。
(3) 近似共轭的径向变为修形三维齿形对柔轮齿形沿轴向做连续径向变为修形也可以有效避免啮合干涉。课题组以三圆弧齿廓为例进行了多截面连续径向变为修形齿形的设计研究(图7d)，在修形前，除齿廓设计截面外，其余截面上都出现了不同程度的啮合干涉(图7e)，修形后消除了啮合干涉现象(图7f)。同时，在径向变为修形后，各个截面上柔轮与刚轮的啮合齿对都处于近似共轭的啮合状态(图7g)。径向变位修形的齿形方案加工工艺成熟方便，是工程中应用最广泛的方案。
图7 三维齿形共轭设计与修形：(a) 线接触连续共轭三维齿形设计; (b)-(c) 点接触连续共轭三维齿形设计; (d-g) 近似共轭的径向变为修形三维齿形.
2.3 柔轮的滚齿误差分析当前，由于工艺和技术理论相对成熟和成本低廉等有点，渐开线齿廓依然在谐波齿轮中拥有一定的应用比例。但是标准滚刀加工大变位渐开线齿廓极易产生大的加工误差，影响最终的啮合质量和传动性能。课题组基于滚齿仿真计算研究大变位齿轮成形机理,分析柔轮齿面理论加工误差值及产生原因。建立了滚刀系列切削刃参数化方程,并结合滚齿参数及滚齿时滚刀和工件相互运动关系建立变位齿轮滚切成形数学模型，基于滚齿多刃切削成形特征建立齿面理论加工误差评价模型进行滚齿加工误差仿真计算。
图8 滚齿加工误差分析：(a) 滚刀轴向齿形; (b) 滚齿仿真截面示意图; (c) 加工仿真; (d) 滚刀空间运动关系; (e) 不同轴向进给量下的齿向误差; (f) 左右侧齿面的齿向误差; (g) 成型滚刀轴向齿形; (h) 滚刀安装误差示意图; (i) 滚刀切削刃齿形误差示意图; (j) 滚刀跳动相位角对齿形误差的影响; (k) 滚刀跳动值对齿形误差的影响; (l) 滚刀安装误差引起的齿形误差.
(待续)