风能作为分布范围最广、发展最迅速的可再生清洁能源之一，在世界范围内已经大规模应用。在“双碳”目标背景下，国内风电行业迎来巨大规模的发展。风电齿轮箱作为风力发电机的重要组成部分之一，其功率密度一直是制约着大兆瓦级风机发展的卡脖子技术。某商用风机功率从 2 MW 增加到 5 MW，齿轮箱质量增加约 170 %。如何在增大齿轮箱功率的同时，保证最优化的齿轮箱结构与质量，是目前双馈与半直驱风机的一个难题。此外，受风速影响，齿轮箱长期遭受齿轮与轴承的时变载荷冲击，复杂的承载环境使得箱体需要具备足够的强度与刚度，以防止传动过程受载过大导致箱体产生变形、开裂。以往箱体设计大都以经验为主导，多工况复杂条件下，箱体强度与质量分配难以均衡，存在局部强度不足以及材料冗余等情况。针对上述问题，轻量化设计在各个领域已经取得了很好的应用;因此，对风电齿轮箱箱体进行多工况轻量化设计，不仅关乎风机的成本，更与风机性能提升密切相关。
机械设备往往服役工况复杂，为避免单工况优化的局限性，导致某一工况下的优化性能不佳，孟亮等人以 2 种极限工况下航空发动机支架柔顺度为目标，采用增材制造材料横观各向同性模型对支架进行优化设计，使支架质量减少了 15 %。邢广鹏等人以多工况下总柔度为目标函数，以体积为约束函数对某发动机支架进行基于变密度法拓扑优化设计。赵瑞杰等人针对潜望式激光通信装置，对发射和在轨 2 种工况下的固有频率进行了优化设计，实现了结构性能的提升。韩明轩等人考虑碰撞载荷作用下的多工况田间，对混动客车车架进行了轻量化设计，优化后车架减重 5.02 %。为保证优化模型准确性，LIANG 等人通过振动响应试验验证箱体有限元模型的准确性，并以动态激励为载荷边界对箱体进行了轻量化设计。彭显昌等人通过模态试验验证了变速箱有限元模型的准确性，根据静动态多目标拓扑优化结果对箱体进行结构改进，最终提升了箱体的抗振性能。对于风电齿轮箱优化设计，毛范海等人基于多位置工况，利用拓扑优化和尺寸优化方法得到箱体前机体最优尺寸。雷林等人以质量、应力及变形量最小为多优化目标，基于响应曲面法对行星架进行拓扑优化，提升了行星架的综合性能。陶立壮等人综合考虑各级行星轮、太阳轮、齿圈以及传动轴体积，基于遗传算法分析了增速比、行星轮数目及排布方式对风电齿轮箱总体的影响，最终得出箱体最小体积设计方案。
综上所述，目前风电齿轮箱的优化设计大都只考虑了单一额定工况，对于多种极限载荷共同作用下的箱体轻量化研究较少;因此本文以极端服役多工况下箱体最大应力作为风电齿轮箱体轻量化设计的多约束条件，将轮毂处极限载荷等效计算到齿轮箱各轴承处，同时对模型(有限元模型)进行合理简化和边界条件等效处理;通过模态试验验证有限元模型准确性的基础上，对箱体进行了多工况轻量化设计与分析结果对比，优化后的箱体可以保证在不降低箱体性能的基础上减少制造成本。
一、箱体精细化模型建立与有限元分析
箱体精细化模型
以功率为 3.3 MW 的半直驱型风电齿轮箱为研究对象，在 Ansys Workbench 软件中完成箱体精细化模型构建，箱体主要由驱动壳、扭力臂、主壳体、过渡板和后壳体等组成。为提高计算效率的同时便于网格划分，对模型通孔、螺栓孔、部分小倒角、凸台和内齿圈等非关键部位进行简化处理，对齿轮箱主要承载部位和参与优化的扭力臂、驱动壳和过渡板的网格进行精细处理，最终共得到 395 366 个四面体单元，806 016个节点。箱体材料为 QT400，弹性模量 E= 169 GPa，泊松比 μ = 0.275，密度 ρ =7.1×103 kg/m3 ，屈服强度为 230 MPa。
图 1 所示为箱体三维模型及网格划分。箱体支撑方式采用三点支撑，分别为主轴轴承前支撑以及扭力臂双耳孔(见图 1 的①②)处后支撑。为了考虑轮毂处弯矩对箱体的作用，将主轴等效连接到箱体上，主轴轴承支撑处采用远端位移约束，约束除主轴转动方向的其余 5 个自由度。扭力臂双耳孔处支撑采用 3 个方向弹簧单元等效耳孔内壁衬套的弹性支承。此外，主轴与驱动壳之间由连接件锁紧盘连接，锁紧盘的压力直接影响到传动系统传递扭矩和运转的稳定性，因此在主轴与驱动壳连接处采用初始压力等效锁紧盘的实际作用。驱动壳与箱体之间为轴承连接，采用 4 个方向弹簧单元等效，同时还考虑重力对箱体作用。
模型有限元仿真
风电齿轮箱实际服役工况包含外部环境激励与内部载荷激励，由德国劳埃德(GL)规范可知，齿轮箱的设计需要满足极端条件下载荷情况，极端载荷情况通常由极限载荷谱描述。风机极限载荷谱是指在规定的设计寿命期间，风机在不同工况下(例如不同风速、风向和温度等)所承受的最大载荷值，包括静载荷和动载荷等。载荷谱由设计寿命期间实际工作条件和规定的设计安全系数，按照一定的方法和原则得出，是风机设计优化的重要条件之一。
表 1 所示为风场实时采集的风机轮毂处极限载荷谱，该载荷坐标系为轮毂处固定坐标系，风机轮毂坐标系如图 2 所示。表 1 中列出了坐标系中各个方向的力与扭矩的极限值，FX 、FY 、FZ 、MX 、MY 和 MZ 分别为 X、Y 和 Z 方向的力和扭矩;共 12 种工况，每 2 种工况覆盖了某个方向负载的全部范围，划线数据为该方向载荷的最大、最小极限值。由图 2 的轮毂坐标系可知，箱体所受载荷主要为绕 X 方向(主轴方向)的扭矩与 X 方向的力，因此需要重点关注 X 方向工况。
由于极端载荷工况作用于风机轮毂处，箱体内部实际受载部位为各个轴承孔;因此采用文献中方法对箱体内部载荷进行等效计算。对传动系统各级齿轮载荷进行计算，并由空间力系平衡方程求得部分工况下箱体内 8 个轴承位置处的载荷(力)，如表 2 所示。表 2 中，轴向为 X 方向;径向为Y、Z合力方向。
在 Ansys Workbench 软件中对箱体进行 12 种极端载荷工况下的有限元分析。依据 GL 规范，采用等效应力、位移作为评估箱体强度与刚度的性能指标，许用应力安全系数须大于 1.1。对优化前箱体强度与刚度影响最大的 2 种工况(工况 1：主轴轴向作用力最大;工况 7：主轴扭矩最大;见表 1)下的有限元仿真结果进行分析，优化前箱体位移与应力云图如图 3 所示。图 3 中左侧为箱体总体位移结果，右侧为等效应力结果。
由图 3 可知，极端载荷工况作用下，箱体整体位移与应力分布不均匀，应力变化主要集中在主壳体，移变化主要集中在扭力臂和后壳体。该结果表明箱体可以进一步优化，使得箱体整体受力均匀，避免应力集中，从而避免箱体发生局部过大变形或破坏。根据有限元仿真结果，选取工况 1 和工况 7 作为箱体后续优化边界条件。
二、扭力臂模态试验
为进一步验证有限元仿真模型(即有限元模型)与实体模型的一致性，确保简化后模型能够真实反映实体模型，对有限元模型进行自由模态分析，并将有限元模态分析结果与试验结果进行对比，以此评估有限元模型的准确性。扭力臂作为箱体关键组件之一，即是齿轮箱与驱动壳的连接部位，又是箱体承载的支撑部位，起着承受和传递主轴扭矩、支撑和固定齿轮箱等多种作用。故选用扭力臂作为试验对象，并对其模态进行分析对比。
试验方案
试验前采用有限元模态预试验分析，得到箱体扭力臂前 10 阶模态频率、阻尼和振型，并根据有限元结果初步对试验测点、激励方向以及频率范围进行判定，从而提高试验精度与效率。试验仪器主要由冲击力锤、LMS多通道采集前端、三向加速度传感器和工作站组成。
由于测试物(扭力臂)为大型结构，故采用安装方便、移动性强的多参考点锤击法进行测试，为达到试验自由边界要求的 20 %，试验分别采用四点软支撑、两点弹性绳悬挂支撑及两点软支撑这 3 种支撑方式做对比，根据结果选取满足要求的支撑方式。同时为确保激励充分，选用测量范围为 60 kN 的 ICP 型冲击力锤，分别对 3 种支撑方式下的扭力臂采用尼龙与橡胶这 2 种不同硬度的锤头进行对比试验，根据结果选取满足要求的激励方式。每组试验结果取 5 次平均值，模态试验分析流程如图 4 所示。
试验结果
基于本文第 2.1 节的试验方案，共进行 6 组试验。提取试验结果，即提取与有限元模态分析对应的扭力臂前 10 阶模态的试验结果，并对每组试验进行支承刚度验证。扭力臂前 4 阶弹性模态与最高阶刚体模态频率如表 3 所示。
由表 3 可知，6 组试验均满足最高阶刚体模态频率小于第 1 阶弹性模态频率 20 %的要求，表明测试支撑刚度在合理范围内。
为避免试验结果提取到不属于结构本身的干扰模态，通过模态置信准则(Model Assurance Criterion，MAC)对试验数据的准确性与可靠性进行评估。MAC 是评估模态振型相关性的重要判据，模态 A 和模态 B 的置信准则 MAC(A，B)的表达式见式(1)。
式中：ФA 、ФB 分别为模态 A 和模态 B 的振型向量。
MAC 计算得到的标量值位于 0 ～ 1 之间，或者采用百分数表示。MAC 值越小，表明这 2 个振型向量之间相关性越小;MAC 值越大，表明振型向量彼此平行或相似度越高，识别的结果越准确。理想的模态分析结果中，振型相关矩阵除了主对角元素，其他元素值都非常小，表明各阶模态振型相互独立。
对比 6 组试验可知，第 3 组试验最高阶刚体模态频率与第 1 阶弹性模态频率比值最小，边界支撑效果最佳，因此选取第 3 组试验结果进一步分析。试验模态 MAC 矩阵如图 5 所示。图 5 给出了第 3 组试验的前 4 阶弹性模态 MAC 矩阵结果，对应有限元自由模态分析的第 1 ～ 第 4 阶弹性模态。图 5 中主对角线元素为前 4 阶弹性模态自身的点积，接近于 1，非对角元素接近于 0，表明各阶模态振型彼此相互独立，模态参考点位置与数量选择均合理，试验结果并无虚假模态。第 3 组模态试验与有限元仿真结果对比如表 4 所示。
由表 4 可知，试验测得固有频率与仿真结果的固有频率相对误差均小于 10 %，有限元模态频率相较于试验频率偏大，这是由于有限元模型对扭力臂螺纹孔的简化增大了结构计算刚度，从而使得有限元计算结果较大，但整体误差在允许范围内，并且试验与有限元仿真模态振型完全一致，验证了有限元模型和仿真结果的准确性。
三、多工况拓扑优化
基于变密度法的多工况拓扑优化数学模型
拓扑优化旨在找到结构材料的最优分布，将困难拓扑问题转化为简单材料分配问题。目前对于结构拓扑优化，已形成比较成熟的方法有：均匀法、变密度法和渐进结构优化法等。本文基于变密度法对齿 轮箱箱体进行拓扑优化。变密度法假设优化部位材 料为各向同性材料，人为引入一种假想单元密度变化范围在 0～1 之间插值的可变材料，单元相对密度采用 SIMP插值模型进行惩罚，当密度为 0 时表示单元材料被删除，当密度为 1 时表示单元材料保留。
本文基于变密度法与 SIMP 插值模型，最终得到以箱体质量最小为目标的多种极端工况拓扑优化数学模型，即：
式中：ρ 为密度向量;ρi 为第 i 个单元的相对密度;p 为插值模型引入的惩罚因子，一般取 p = 3;M 为优化后箱体总质量;vi0为第 i 个单元充满材料的体积;ρi0为第 i 个单元的初始密度;σli 为第 l 个极限工况下箱体优 化后单元的应力;σl0 为第 l 个极限工况下箱体初始结构的最大等效应力，即约束的最大上限值;k 为工况个数;n 为有限元单元的个数。
箱体优化流程与结果
由 Ansys Workbench 软件对箱体进行优化，拓扑优化分析流程如图 6 所示。
拓扑优化过程中，首先需要确定优化区域与非优化区域，考虑箱体装配、安装要求，箱体加载、连接、约束、吊装及支撑部位不参与优化，为保证足够的拓扑优化区域，不考虑箱体的密封性，箱体各部件优化区域如图 7 所示，深色(图 7 中靠右端)部位表示可优化区域，浅色部位表示非优化区域。以不同极端载荷工况下箱体各部件有限元仿真最大应力为约束条件，箱体质量最小为优化目标，最终得到箱体拓扑结构，并依据拓扑区域对箱体进行优化设计。主轴、驱动壳与扭力臂分别为连接件与支撑部件，不参与箱体优化，优化部位主要是主壳体、过渡板与后壳体。
为保证优化结果的准确性和可靠性，且优化条件更接近实际工作条件，选取对箱体受力与位移影响最大的工况 1 与工况 7，分别进行单工况与多工况拓扑优化分析。收敛准则是以 2 次迭代之间质量的相对变化阈值作为迭代结束条件，阈值取 0.001，收敛精度取 10 %。得到不同工况下箱体各部件拓扑优化结果，如图 8 所示。工况 1 与工况 7 单独作用下箱体各部分优化后的拓扑结构见图 8a)、图 8b)，工况 1 与工况 7 组合作用下箱体各部分优化后拓扑结构见图 8c)。
图 8 中，相对密度小于 0.4 的区域为材料移除区域，相对密度在 0.4～0.6 之间的区域为边缘区域，相对密度在 0.6～1.0 之间的区域为材料保留区域。
不同工况下箱体各部件拓扑质量对比如图 9 所示。由图 9 可知，单工况与多工况作用下，箱体各部件优化趋势大体相同，主壳体主要优化了箱体内壁中间连接处与减重孔等非受力区域，过渡板优化了内部轴承孔与箱体整体筋板结构，后壳体优化了下半部分壳体与输出轴加强筋处壳体。拓扑优化结果中，工况 1、工况 7 和工况 1 与工况 7 组合下的主壳体、过渡板和后壳体的总质量分别减少了 38.88 %、39.47 %和39.84 %。究其原因，单工况优化结果只在该工况作用下达到了局部最优解，而多工况优化结果更全面考虑了多方向载荷共同作用下箱体承载能力的均衡性，达到了最佳的优化结果。
箱体模型重构
图 8 的优化结果是在没有考虑箱体密封及可制造性的前提下进行的，最大程度地优化了箱体质量，但是优化结果并不能直接用于设计制造。为使得优化结果与实际生产相结合，基于多工况拓扑优化分析结果，对箱体进行结构重新设计，设计过程中综合考虑箱体材料、承载性能以及制造工艺等要求。
为此，需要考虑主壳体与后壳体箱体润滑油的密封与流通，对拓扑优化结果中完全去除材料区域进行减厚与扩孔处理，同时需要满足铸造工艺上的最小厚度要求(20 mm);过渡板为主壳体与后壳体的连接件，整体结构可重新构形，为便于实际生产加工，结合拓扑优化结构与原模型，对过渡板进行材料去除。
箱体各部件结构优化设计如图 10 所示。优化后箱体总质量与原始模型相比减小了 549.8 kg，优化后箱体的质量减小了 4.7 %。
为验证所设计的重构模型的合理性，对优化后的模型进行有限元仿真校核，优化后箱体整体位移与应力云图如图 11 所示。优化前后箱体各部件应力对比如图 12 所示。优化前后箱体及各部件最大位移与应力对比如图 13 所示。
由图 11～图 13 可知，优化后箱体整体及各部件等效应力与位移均有较大改善，优化后箱体整体最大应力较原始结构降低了 29.7 %，最大位移较原始结构降低了 82.4 %，且应力与位移云图分布更均匀。表明优化后的箱体具有更好的承载能力，提高了箱体的强度与刚度，优化结构合理，在减重的同时增强了箱体力学性能。
四、结语
本文针对风电齿轮箱箱体优化设计过程中工况覆盖不全面、材料利用率低及模型简化不合理等问题，对箱体进行了轻量化设计。在风电齿轮箱箱体精细化模型的基础上，分别对 12 种极限载荷工况作用下箱体力学性能进行有限元仿真;结果表明主轴扭矩最大(工况 7)和主轴轴向作用力最大时(工况 1)，对箱体应力与位移影响较明显，且高应力区域主要集中在主壳体上，高位移区域主要集中在扭力臂与后壳体上;箱体整体应力和位移分布都不均匀，需要选取对箱体性能影响最大的工况 1 和工况 7 进行组合分析，进而对箱体进行合理性优化设计。
通过箱体模态试验与有限元前 10 阶模态分析对比，证明有限元模型与实体模型固有频率的误差均小于 10 %，振型完全一致，验证了有限元模型的准确性。基于变密度拓扑优化数学模型对箱体进行轻量化设计，对比单工况与多工况优化结果，认为考虑齿轮箱极端载荷多工况条件的优化结果更合理，更符合实际受载情况。优化后箱体力学性能得到大幅度提升，箱体质量减小了 4.7 %(549.8 kg)，达到了箱体轻量化设计的优化目标，对箱体的设计开发、成本降低、功率密度以及可靠性提升均有重要意义。
参考文献略.