目前，车辆、航天等传动机构的使用要求逐渐提高，传统的齿轮加工与测量方式已不能满足现代加工要求。为保证其齿轮使用的可靠性，需检测齿轮各项误差。目前常见的齿轮检测方式分为接触式 测量和非接触式测量。前者依靠测头与工件表面接触，通过计算测头与工件表面的相对位置来获取工件表面多个点的空间位置。这种测量方式有测量范围受测头体积限制等弊端。非接触式测量借助机器视觉技术和传感器技术，成为近几年齿轮测量的重要方法。机器视觉测量方法是提取被测零件图像信息进行处理分析的一种测量方法，涉及图像的获取、处理和分析。Sandak等提出的外观缺陷检测法可对齿轮的崩角、碰伤和划伤进行识别。杨云涛等利用边缘检测算子提取齿轮有效像素，形成轮廓。虽然视觉测量方法可以获得齿轮的多项偏差并且通过改进算法可以提高精度，但其测量方法的可靠性不高，工业相机的发展限制测量精度，测量过程依赖图像识别的准确度，由于受相机功能性发展限制和高性能相机的价格区间的限制，不能实现工业大规模的应用。
近年来，激光位移传感器在齿轮几何精度、传动平稳性检测等方面被广泛应用，其具备精度高和测量迅速的优点。激光通过齿轮中心测量时激光束与部分齿面法向夹角较大，形成不规则椭圆光斑，对于被测量目标为复杂空间曲线，其曲率不断变化，易导致测量精度波动，影响了检测精度，同时测量的准确度也受光斑形状、大小影响。被测面接近于平面时，激光束打在被测物体表面的光斑呈现出均匀的圆形，主要表现在齿根、齿顶的测量中，此时齿廓法向量与激光束的夹角偏小接近0°，相当于激光束垂直打在被测面上，此时激光束的测量精度不受影响;而被测面曲率不断变化且存在较大高度差时，激光束打在被测物体表面的光斑为不均匀的近似椭圆形，此时齿廓法向量与激光束的夹角偏大接近90°，相当于激光束切入被测表面，此时测量系统中非线性误差增加，测量误差较大。何凯等优化了激光位移传感器的安装角度和安装位置，对精度有一定提升，但存在测量过程中前齿遮挡激光的范围较大、测量结果实际可用段较少的问题。因此，需要研究出一种高效、高精度的齿轮激光测量方式，从而改善激光测量在齿轮测量中的缺陷。本文提出一种基于激光位移传感器激光偏置的齿轮测量方法。激光束相对齿轮轴线偏置一段距离，使激光束与齿面测点法矢量夹角减小，大大提升了测量的精度和效率。同时对测量数据进行坐标转换和数据处理，得到齿轮的各项偏差及综合偏差。
一、齿轮激光精密测量设计原理
齿轮激光精密测量原理
齿轮激光测量所使用的激光位移传感器原理上为三角测量法，如图1所示，激光源发出的激光打到被测物体表面的 H1点，H0为参考平面上的一点，两点在 CCD上成像分别为 M1和 M0。分别做 H1、M1 到直线 H0M0的垂线，得到B、D。三角形 M1DO 相 似于三角形 H1BO，根据三角形相似法则，可求出 BH1的距离，继而求出y的距离。
当测量位置由激光束通过齿轮的中心轴转变成激光束偏离齿轮的中心轴时，被测点的实际位置与各个部分传感器读数所参考的已不是同一参考系。在进行过中心齿轮测量时，激光束击中齿面的受测点，激光位移传感器和控制器读出当前点至该激光位移传感器之间的位移量，通过组合编码盘反馈当前测量点的角度信息与零点编码盘读数的差值，就能够反映出被测点的真实位置。但在进行偏置测量时，两者对应的参考系并不是唯一的。因此，需要转换坐标来获取当前被测点的实际位置。
齿轮的激光精密测量原理如图2所示。当激光位移传感器相对于齿轮中心的偏置量为一定值a，激光位移传感器到齿面被测点的距离为d测，激光位移传感器到x 轴的距离为l，被测点到x 轴的距离为d=l-d测。取任意两点qm 和qn，其测量值是 qm(d测m，θm)、qn(d测n，θn)。以qm为基准，qm与x 轴的夹角是arccos(a/rm)，从qm到qn齿轮转过的角度为θn-θm，qn与y轴的夹角是arcsin(a/rn)，所以 qm和qn的相对齿轮坐标系夹角：
将测量结果转化成极坐标方程：
偏置量选择原理
为找到合适的偏置位置，需对齿面和激光位移传感器空间位置进行数学建模。如图3所示，Ob是基圆圆心，H 为被测点，l1为圆心与点 H 的连线，l2 是渐开线的法线，基圆半径为rb，设 H 点坐标(xH ，yH)，渐开线转过一定角度后基圆圆心是 Ob(-x0，-y0)，αH是点 H 处压力角，k 为l2的斜率，则齿廓法向量所在直线l2可表示为：
偏置测量时，激光束沿x轴偏置一段距离为a，其齿廓法线与x 轴夹角为φ。可见，当k值越大，φ 值越大，齿廓法线与激光束夹角越小，测量值越稳定;相反，当夹角过大时，在测量过程中该夹角会在齿面渐开线处存在一个峰值，使得激光束接近于平行切入齿廓渐开线某处，加上测量激光束光斑形状不规则，导致测量数据失效，增加其数据波动性。因此，偏置量应选择一个合理的区间。偏置量的选择要考虑多种因素。首先，需要考虑其最大影响因素：激光束与齿廓法向量夹角，这直接反映了测量数据有效性;其次，也需保证齿廓数据的准确性;最后，应减少整体测量存在的波动性。通过这3个方面来考量偏置量的最佳位置。
考量激光束与齿廓法线夹角时，黄潇苹提出了一种物面倾角误差，通过实验测量得出，当倾斜角度在5°以内时，测量误差可以控制在0.12mm，倾斜角在30°时最大测量位移误差值已达0.5mm。可根据上述齿廓法线斜率k来判断夹角大小。当 k值较小时，激光位移传感器处于一种稳定状态。当k值增大时，激光位移传感器的误差值也逐渐增大。所以，需保持一个稳定的区间。当激光束与齿廓法线的夹角小于30°，k的绝对值应大于
。
考虑齿廓数据有效性，假设齿轮齿数是z，模数是 m，齿顶圆半径ra，齿根圆半径rf，分度圆半径r，分度圆齿厚s，压力角α，令α测为测量数据点在齿廓有效部分所占的齿轮中心角，α总为单侧齿线所占齿轮中心角，齿顶所占齿轮中心角是：
考虑整体数据有效性时，其为测量过程合理性的量，需引入整体数据有效性来进行判断。D 为测量结果数据中的有效数据个数，D总为测量结果全部数据点，则数据有效为：
二、齿轮激光精密测量偏差分析
齿距偏差分析
在齿距偏差分析之前，需要处理其测量数据。因为通过直接测量获取的数据并不是被测点相对于齿轮中心的实际空间位置，所以需要预处理数据，获取正对测量数据，将偏置坐标转换成以被测齿轮为中心的坐标系。经过处理的数据分析方法和正常测量的数据偏差分析方法是相同的。首先就是对其齿轮展开角进行计算，其任意数据点在其坐标系的展开角bi是：
式中：Yi是其任意点脉冲数;Y1为第一点所对应的脉冲数;Yn为其最后一个点对应的脉冲数。
通过拟合的齿廓与分度圆间交点来找到测量数据，将数据点极坐标数据展开，使用二分法计算，在其分度圆处收敛，可找到样条曲线拟合的齿廓和分度圆之间的任意两个相邻的交点 Pi-1和 Pi。则齿距可表述为：
式中：rm为分度圆半径;(xi，yi)(xi-1，yi-1)为迭代后插值点的坐标数据。
螺旋线误差分析
图4是螺旋线误差分析原理图。需要多组测量数据来进行螺旋线误差分析。图中3组齿线为不同高度但偏置量相同情况下获取的3组数据，为找到同一齿下的3组数据，对该齿数据进行拟合，找到其与理论分度圆之间的交点，即可获得该齿面上分度圆柱面上的3个点，再对3个点进行拟合，推导得出螺旋线误差。
设所拟合的直线方程为z=b0 +b1y，3个点到该直线的偏差平方和：
利用最小二乘法，偏差平方和对bi求导，得到方程组：
三、齿轮激光精密测量实验
实验步骤
齿轮激光精密测量平台的三维图如图5所示，该测量平台由工件回转台、夹紧装置、下顶尖、中心轴、上顶尖、工件回转台升降滑台、测头滑台导轨、偏置滑台直线电机、Z 轴导轨、测头滑台驱动电机、Z 轴驱动电机和激光位移传感器构成。在中心定位心轴上安装有中心孔的齿轮，中心定位芯轴通过上下顶尖固定，下面装有一个回转盘，当采用夹紧装置时，中心定位芯轴会随着旋转盘的转动而转动。由控制卡、激光位移传感器的控制器与计算机进行连接，通过计算机控制编码盘的旋转、三坐标位移装置的平移运动和传感器的开关并记录读数。
如图6所示，在芯轴上安装了被测齿轮，激光测量传感器相对于齿轮中心偏置一定的距离。进行测量时，齿轮以一定速比匀速旋转，工件回转盘上编码盘记录此时齿轮上被测点的角度脉冲数据，同时激光位移传感器采集被测点相对于激光束发生点的位移数据，齿轮的角度位移数据通过测量软件输出到文件中。
测量数据转换
以齿数为30、法面模数为3、螺旋角为20°的斜齿圆柱齿轮任一测量结果曲线为例，进行数据转换。该测量的偏置量为23，如图7所示，图中灰线段为测量数据的可视化结果，黑线段为对灰线进行转化的可视化结果。横坐标为测量系统的脉冲数，工件旋转1周360°为100万个脉冲量;纵坐标轴为测量数据点到工件旋转中心的距离，即激光位移传感器示数向齿轮中心的转换结果。从图7中可以看出，转化前的黑线偏斜，齿廓渐开线处的测量脉冲占比 明显高于正常占比，经过坐标转化后偏斜消除，单侧齿廓处符合实际齿廓的尺寸形状。
最佳偏置值选定
以齿数为30、法面模数为3、螺旋角为20°的斜齿圆柱齿轮为例，根据齿轮参数设置了14组不同偏置量对照试验，分别为17、18、19、20、21、22、23、24、 25、26、27、28、29、30。图8为不同偏置量得到的测量数据结果图。图9为偏置量分别为17、24、30的 3 种情况下的测量图形。可以看出，偏置量较小，测量过程中齿根有一定占比，渐开线齿廓的有效测量段数据点较少。随着偏置量的增大，图形中渐开线齿廓的有效测量段数据点增多，测量图形在渐开线处变缓，齿根处的数据点减少且在测量图形中占比变小。当偏置量持续增大，测量过程中前齿对后齿的遮挡增加，齿根处被逐渐遮挡，直到测量数据直接从渐开线齿廓开始，经过齿顶圆后直接继续测量到渐开线齿廓部分。
在试验选取的偏置量中，齿侧齿廓的测量只有最后一组有前齿遮挡现象。通过有效数据点个数来判定齿廓数据的有效性。在测量数据中，齿侧齿廓部分以数据从齿根圆半径测量的平均数+10%齿全高开始计数，到齿顶圆半径测量的平均数-10%齿全高结束，得出以下数据。如表1所示，偏置值选择和齿廓有效数点个数正相关，在合理的偏置值范围内，偏置值选取得越大，齿廓有效数据点的个数越多，偏置值选取得越小，齿廓有效数据点的个数越少。但在偏置值大于29时也存在一定问题，即激光束越过齿顶，从齿根处开始后齿的测量时，高度偏差较大，数据波动增加，此时该测量点与齿侧距离较短，易影响后齿的测量，使后齿有效测量范围缩短。
结合图1和表1，偏置值在23～29之间测量，各组测量数据中有效数据点个数较多，数据波动较小，激光束打在齿廓上的光斑形状聚集。其中偏置值为29时，激光束与齿廓法线夹角最小，在前齿不遮挡的条件下有效数据点最多，符合理论选定的最佳偏置值。
齿轮激光精密测量偏差分析试验
对偏置量为23的测量数据进行齿距偏差分析和螺旋角偏差分析。
进行齿距偏差分析时，对测量数据进行坐标转换，通过样条曲线连接数据点，用二分法迭代找出分度圆与样条曲线的交点，相邻交点间的距离是单齿距;单齿距与公称齿距之差为偏差。任意多个齿距的累积为累积偏差。表2为部分单个齿距偏差与齿距累积偏差，图 10 给出了该被测齿轮的全部 20个单个齿距偏差，图11给出了该齿轮累积偏差图形。根据30组实验得出该齿轮的最大齿距偏差为0.02155mm，最小齿距偏差为0.00269mm，最大齿距累计总偏差为0.02977mm。
已知该齿轮螺旋角为20.5739°，通过对3组齿轮不同截面上测量的数据进行转换后，计算出样曲线与分度圆的交点。同一齿上3个点拟合直线方程，通过最小二乘法确定直线方程的斜率k值，最后计算出螺旋角。表3列出部分齿的螺旋角计算值。
以上的试验结果证明，偏置式测量方法适用于齿轮精密测量，对齿轮的齿距和螺旋线偏差都有较好的效果。
四、结论
基于偏置式测量原理，研究一种齿轮激光偏置测量方法，通过将激光束移动一个偏置量，解决了对中式的齿轮激光测量所带来的失效问题。通过建立偏置量的选择模型，明确偏置位置，建立数据转换方程，完成测量试验与数据分析。本文研究的测量方法有以下特点：
(1)采用激光位移传感器的齿轮激光偏置测量方法，不仅具有激光测量方法的优点，而且克服了常规激光测量的一些缺点。这种测量方法无须规划测头的运动轨迹，也不需要复杂的算法来补偿测头半径，不会产生磨耗问题，使用灵活，不受限于测头尺寸，测量效率高。解决了激光测量在齿侧齿廓上激光束与渐开线相切的数据失效问题，从而获取更多齿侧齿廓的有效数据点。
(2)通过数据处理的方法和误差分析方法解决了激光测头测量坐标系和工件坐标不一致的问题，简化数据分析过程，提高测量效率。