在常见的机械传动机构中，齿轮传动是应用最广泛的传动机构之一。其中，圆柱直齿轮因其使用圆周速度和功率范围广、寿命较长、传动比精确稳定、效率高等优点在现代各种机械设备中得到了广泛的应用。
在实际使用时要求齿轮机构有较高的加工精度和装配精度，在有限元分析、运动仿真等对结构和模型精度要求较高的使用场景下，也需要建立的齿轮模型具有较高的精度，因此，精准地建立渐开线圆柱直齿轮模型至关重要。此外，在模型设计时尽量减少使用软件的种类，能提高工程师的工作效率。
现阶段有诸多学者提出使用SolidWorks建立圆柱直尺轮模型的方法，但也存在一些缺点，例如文献介绍了SolidWorks中自带的Toolbox插件、用圆弧或样条曲线代替渐开线的方法，用这两种方法绘制出的齿廓并非标准的渐开线，绘制的齿轮精度较低，不利于后期对齿轮进行力学和仿真分析;文献还通过方程式驱动的方式绘制渐开线，能生成精度较高的齿轮模型，但所生成的齿轮模型没有关于x 轴或y轴对称，造成装配时的定位不便。文献介绍了使用迈迪、GearTrax插件、CAXA电子图板绘制齿轮的方法，这些方法借助了外部的插件或软件，虽然能够保证建立的齿轮的齿廓为标准的渐开线齿廓，但当设计过程中齿轮尺寸发生变化时则需要使用插件重新绘制齿轮，无法直接通过SolidWorks修改齿轮参数直接重建模型，造成设计时的不便。因此，需要对齿轮建模方法进行优化。
本文针对以上问题，分析渐开线方程和坐标变换，利用SolidWorks中的方程式驱动的曲线和方程式功能，根据齿轮形成的原理，对渐开线圆柱直齿轮的建模方法进行了优化。
一、渐开线方程
基本渐开线方程
正确地绘制出渐开线是圆柱齿轮精确建模的基础和关键，为了保证齿廓的精确性，本文采用渐开线的参数方程来精确绘制齿轮的渐开线齿廓。
一动直线在一个固定的圆周上做纯滚动时，该直线上的任意一点所形成的轨迹被称为渐开线，其轨迹如图1所示，根据渐开线的形成原理可写出其参数方程：
式中：Db为基圆直径，θ为展角。
渐开线方程的优化
由式(1)所生成的直齿轮的部分齿廓如图2 所示，不难发现，按照式(1)生成的齿轮并不关于x轴对称，此时，齿轮的对称线与x轴线存在偏角，该偏角会在齿轮装配时造成不便。因此，需要对渐开线参数方程进行优化，为了使齿轮能够关于基准面对称，需要使渐开线绕坐标原点旋转β角，从而使齿轮的模型能够关于x轴对称。其中，β为齿轮齿廓的对称线与x轴的夹角。
在笛卡尔直角坐标系上的曲线绕原点旋转主要有两种方式：一种方式是曲线绕原点旋转，坐标系保持不动;另一种方式是坐标系绕原点旋转，通过旋转坐标轴，使曲线相对坐标轴的位置发生旋转。在SolidWorks中，方程式驱动的曲线是在全局默认的坐标系中生成的，其默认的坐标系无法更改，所以无法通过旋转坐标系来完成旋转曲线。因此，本文采用坐标旋转实现渐开线绕坐标原点旋转β，原理如下。
如图3所示，坐标(x，y)绕坐标原点O逆时针旋转α后得到新坐标(x′，y′),存在如下关系：
合并两式化简得：
如图4所示，计算旋转角度β。
由渐开线的性质得
其中，α为压力角。
在直角ΔAOK中有
合并上述两式得
γ为两相邻的齿夹角的一半
因此可求得旋转角
在SolidWorks中，三角函数内的输入的数值需要用弧度表示：
最终优化后的渐开线的极坐标参数方程可表示为：
二、圆柱直齿轮参数化建模
基本参数
圆柱直齿轮的标准参数如下：模数m;压力角α;齿数 Z;顶隙系数c* ;齿高系数h*a。
圆柱直齿轮的基本尺寸计算：分度圆直径d=mz;基圆直径 db=dcos α;齿顶圆直径da=d+2ha=d+2h*am;齿根圆直径df =d-2hf =d-2m(h*a+c*)。
创建全局变量
在SolidWorks工作界面的左侧设计树区域右键 “方程式”，选择“管理方程式”选项，打开方程式界面，在全局变量区域输入模数m、齿数z、压力角α、分度圆直径D、基圆直径Db、顶隙系数c* 、齿顶高系数 ha* 、齿根圆直径Df、齿根圆直径Da、齿宽B。并输入相应的数值与计算公式，如图5所示。
本部分以m=2、z =50和30、α=20°、h*a =1.0、c* = 0.25、B=20的标准齿轮为例。
绘制圆和渐开线草图
绘制齿顶圆、分度圆、齿根圆、基圆草图。在草图绘制界面以原点为圆心由大到小分别绘制齿顶圆、分度圆、齿根圆、基圆4个圆的草图，并运用“智能尺寸”标注尺寸，在尺寸输入界面输入“=”，在弹出的选项中选择“全局变量”，根据4个圆由大到小分别选择 “Da”“D”“Df”“Db”，完成对齿顶圆、分度圆、齿根圆、基圆的尺寸与方程式全局变量的关联。
构造渐开线。在“方程式”-“全局变量”中添加新变量“β”，为旋转角，其值为“=("α"+90/"z"-tan("α")*180/PI)*PI/180”。在草图绘制菜单中选择“方程式驱动的曲线”，选择“参数性”输入参数方程。在方程式“xt ”处输入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*cos("β")-("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*sin("β");在“yt”处输入("Db"*(t*sin(t)+cos(t))/2)*sin("β")+("Db"*(sin(t)-t*cos(t))/2)*cos("β")。在参数“t1”处输入0，“t2”处输入“pi”，该参数的作用为控制渐开线的展角范围。至此，完成渐开线的创建。
最后，为生成的渐开线添加固定约束，使其为完全定义。
创建齿轮实体模型
生成齿坯模型。使用“特征”-“拉伸凸台”命令，以齿顶圆为轮廓拉伸轮廓，在拉伸长度中选择全局变量“B”。实现齿轮厚度的参数化关联。
切除单个齿槽。以齿坯的一面为草图基准面绘制草图，选中齿根圆、齿顶圆和渐开线草图，执行“转换为实体引用”命令，用直线将齿根圆和齿顶圆与X 轴线的交点相连接。裁剪齿根圆和齿顶圆，形成封闭的一半的齿槽轮廓。选中该轮廓，使用“特征”-“拉伸切除”命令，切除尺寸选择全局变量“B”。最后，使用 “特征”-“镜像”命令，镜像基准面选择“上视基准面”，镜像切除的特征，完成单个齿槽的切除。然后使用“特征”-“圆角”，选中齿根部分，圆角半径的参数值为=“m”*0.38，完成单个齿廓的创建。
阵列完成齿廓的建模。使用“圆周阵列”，阵列切除成形的齿廓，阵列数量选择全局变量“Z”，完成齿数的方程式关联。
采用上述步骤完成齿数大于41齿时的圆柱直齿轮的造型，通过修改全局变量中的模数和齿数等参数，即可生成不同的齿轮，无需重新建立新的模型文件。
三、参数压缩实现建模
当基圆大于齿根圆时，即Df≤Db时，代入数值计算得齿数Z≤41.25，即当齿数≤41齿时，渐开线的起点位于齿根圆以外，如果按照上述方法直接修改参数，会导致模型重建失败。若重建一个模型文件，则无法实现对任意齿数齿轮的建模。此时，则需要使用条件控制特征的压缩，达到用一个模型完成任意齿数的圆柱直齿轮建模的目的。
IF函数控制压缩
在SolidWorks中，可以运用Visual Basic If函数有条件地控制模型变量，基本用法如下：
变量=IF(表达式,满足条件返回的结果,不满足条件返回的结果)。
例如，Y=IF(X>10,1,2)表示为当X>10时,Y=1;当 X≤10时，Y=2。
在“方程式”-“特征”区域，可以选择对应的特征。在“数值/方程式”处输入="suppressed"，则表示该特征被压缩;在“数值/方程式”处输入="unsuppressed"，则表示该特性被取消压缩。运用该功能，可以很好地解决齿数小于42时重建模型发生错误的问题。
基于上述结论，可写出以下表达式：
该式表示齿数大于41时指定特征被压缩;反之，则指定特征被解除压缩。
创建最终齿轮模型
压缩原模型。打开“方程式”，在“特征”-“名称” 中3行分别选择设计树中“切除”“镜像”“阵列”“圆”3个特征，在“数值/方程式”输入=IF("Z"<= 41，"suppressed"，"unsuppressed")，并将全局变量中齿数“Z”修改为30，完成原模型的压缩。
按照本文2.4节中的操作方法，将渐开线、齿顶圆和齿根圆引用后裁剪，得到未封闭的图形，绘制一条直线连接渐开线起点和齿根圆，然后添加几何约束令直线与渐开线相切，得到封闭图形。再通过切除、镜像、圆角、阵列一系列操作，完成齿数小于41齿的齿轮建模。
将新生成的4个特征添加到“方程式”-“特征” 中，数值处填入“=IF("Z" >41，"suppressed"，"unsuppressed")”，可以实现在齿数大于41时压缩，齿数不大于41时解除压缩。至此，优化后的圆柱直齿轮造型完成，通过修改全局变量中齿轮的参数，便可以直接完成特征的重建。
四、结论
可以将该模型文件保存为样板文件，当在设计时需要使用到圆柱直齿轮时，只需调用该模型文件，修改全局变量中的模数、齿数等标准参数后，可以直接生成所需要的齿轮模型。该模型运用了渐开线的参数方程，保证了齿轮的精度;且生成的齿轮关于上视基准面对称，便于后续进行装配和有限元分析;还实现了用一个模型满足所有齿数的齿轮生成，避免修改齿数时报错，在一定程度上减少了重复操作，提高了效率，同时也为变位齿轮等具有多参数的零部件的参数化建模提供了一定的思路。
参考文献略.