摆线齿轮具有传动精度高、抗冲击、承载力大等优点，广泛应用于机器人高精密传动场合。摆线齿轮同时啮合的轮齿数量多，加工精度要求非常高，经常会因为制造精度不足产生轮齿干涉等问题。为此，摆线轮齿廓修形就成为了不可缺少的加工艺。修形方法不恰当，比如减少了同时啮合的轮齿数目、增加了单个齿面上的接触应力、增大了回程误差等，会降低精密减速器的传动精度和使用寿命。摆线齿廓修形方法一直是研究的热点和难点。本文在简要介绍摆线轮齿廓修形目的和齿廓修形对齿轮强度和传动精度影响的基础上，综述了国内外学者提出的摆线齿廓修形新方法、新制造工艺和计算机辅助设计在修形中的应用情况。
一、摆线轮齿廓修形的目的
摆线齿廓修形最主要的目的是为了避免轮齿啮合时齿廓干涉。关天民等针对针摆传动中的高精度要求，给出了求最佳修形量优化方法，在对齿廓修形产生的几何相对转角进行计算后提出了弓背齿廓(如图 1 所示)，进行了理论分析和动态受力分析。根据其弓背齿廓修形方式计算结果可以得出：最佳弓背齿廓修形可以产生的最大接触力和最大接触应力，能够有效减小回转误差，这种通过牺牲部分承载能力而达到高精度传动的修形，非常适用于有高精度要求的针摆传动。当采用如式(1)所示常用的等距、移距和转角修形方法时，Lin 等研究得出如果采用单一的修形方法，较小的修形量会产生较小的运动误差。式中：Rz 为针齿分布圆半径;rz 为针齿套半径;Zb 为针轮齿数;a 为偏心距;i H = Zb/Zc;Zc 为摆线轮齿数;K ' 1为有移距修形时的齿形的短幅系数 K'1 = a·Zb/(Rz - ΔRz);ΔRz 为移距修形量;Δrz 为等距修形量;δ 为转角修形量;φ 为针轮相对于转臂的转角;φ-1(K '1，φ)= 
然而，组合的修形方法可能产生比单一修形方法更小的运动误差。此外，如果选择合适的组合修形量，较大的修形量仍然可以获得较小的运动误差。从考虑润滑脂的压黏特性及热效应的角度来看，随着摆线轮修形齿廓与理论齿廓径向间隙的增大，摩擦损失功率增加，最小脂膜厚度先增加后减小，同时，在卷吸速度较大的情况下，最小脂膜厚度先增大后减小;在二者同一径向间隙的条件下，反弓齿廓修形方式的润滑性能最好，正等距加正移距的组合修形方式次之，负等距加负移距的组合修形方式润滑性能最差。针对多种基于正等距加负移距的摆线轮齿廓修形模型，魏波等利用 MATLAB 工具分析各模型下的摆线针轮传动载荷分布、啮合齿对数、与转角修形共轭齿廓的趋近程度以及回转精度等特性，发现虽然各模型的优化参数存在一定差异，在接触齿对数、载荷分布等方面性能基本一致，修形齿廓与理论齿廓间的间隙大致相等，分布较为均匀，且修形齿廓均十分趋近转角修形共轭齿廓;基于齿廓法向间隙建立的模型既能保证同一时刻的多齿对啮合及承载的均匀性，又能得到更高的回转精度，更适合工程应用。通过以上分析说明摆线齿廓修形不仅是为了获得适当的间隙进行装配，同时对于齿轮的润滑和承载性能均有重要作用。
二、摆线齿廓修形对齿轮强度和精度的影响
一般情况下经过齿廓修形的摆线齿轮参与啮合的齿数会减少，因此在承担相同载荷时单个轮齿上的接触应力会增加，齿廓的变形也会增大，从而会降低摆线齿轮传动精度。毛玺等基于实测的摆线轮齿形误差计算出实际齿面坐标点数据。得到含齿形误差的摆线轮数字化齿廓。依据齿轮啮合原理对摆线轮数字化齿面进行齿面接触分析，获得了考虑齿形误差的摆线针轮副传动误差曲线。进行仿真后结果表明，齿形误差会改变摆线轮传动误差曲线的形状和幅值，考虑齿形误差的传动误差曲线如图 2 所示。
基于抛物线修形模式，安小涛等综合考虑了摆线齿廓形状变化与啮合特性和传动精度之间的交互影响，在保证啮合特性和运动精度情况下，可获得更加符合工程实际的摆线轮设计齿廓，保证了 RV 减速器摆线针轮副的装配工艺性，对 RV 传动性能预控、齿廓修形质量及运动精度改善提供理论和技术支撑。在考虑摆线轮接触变形和针齿弯曲变形的情况下，董威等对摆线针轮传动特性进行分析，通过对摆线轮在公法线方向上的总变形量进行推导，结合初始间隙公式，画出变形量与初始间隙的分布曲线。应用 MATLAB 确定出不同负载下同时啮合齿数与最大接触载荷，采用 ANSYS 对 RV 减速器摆线针轮部分进行静力学仿真分析，得出了不同负载情况下同时参与啮合的轮齿数、摆线轮的接触应力变化、单个摆线轮齿的接触应力变化以及齿宽方向接触应力变化趋势，为后续啮合特性分析提供了参考。
陆龙生等进行建模分析后发现装有该等距-移距修形摆线轮的 RV 减速器的传动效率高达 85%，相比于装有传统拟合转角修形摆线轮的 RV 减速器，该新型 RV 减速器在重载情况下的噪声和温升均显著降低，承载能力得到了明显提高。考虑弹性变形对摆线轮齿廓的影响，秦争争等采用遗传算法求解得到了最佳修形量，与未考虑弹性变形的修形方法对比分析结果表明，使用齿廓修形方法得到的实际齿廓与转角修形齿廓的偏离程度减小了 34.38%。同时，摆线轮齿面最大接触力相对于理论修形方法减少了 8.27%。基于齿轮啮合原理的方法，张跃明等根据微分几何理论建立了摆线轮齿廓的数学模型，利用坐标变换的方法推导出摆线齿廓方程，分析了摆线轮齿廓曲线的凹凸特性，指出摆线轮齿廓在齿根到齿顶区域分别存在一个对称拐点。摆线轮齿廓曲率在齿根附近变化迅速，在齿顶附近变化平缓，在内凹的齿廓区间，曲率的最大值在齿根处。在设计摆线轮时，减小偏心距或增大针齿分布圆半径均有利于改善摆线轮齿廓在齿顶方向的传动性能，这些研究为科学地选择摆线轮最佳参数和设计摆线针轮传动提供了理论参考。
三、摆线齿廓修形的新方法
虽然等距、移距和组合修形方法比较简单，应用比较普遍，但这几种修形方法对于摆线轮齿强度和传动精度的影响也不容忽视。经过深入研究近期很多学者提出了新的摆线齿廓修形方法。赵博等基于单齿无侧隙失配修形的理念，首次提出将二阶抛物线修形量沿法线方向直接叠加至摆线轮法线方向的理论共轭齿廓，推导了修形后摆线轮齿廓的齿面方程。通过改变齿廓修形系数，可得到齿廓曲线在不同啮合位置的修形量(图 3 是抛物线修形量的构造)，使得修形后的齿廓更加逼近完全共轭齿廓。
Ren 等提出了一种调整 5 个关键点的位置来定义修形间隙曲线的方法，摆线齿廓上 5 个关键点位置如图 4 所示。
采用龙格-库塔数值方法求解出摆线针轮在不同修形间隙下的位移和速度随时间的变化曲线，该方法可以提高摆线针轮传动的承载能力和传动精度，消除噪音和振动。柯庆勋等首次探讨了摆线轮齿廓的二阶对数曲线修形，并推导出了修形后摆线轮齿廓方程。选取摆线轮齿廓的曲率拐点作为失配修形参考点，通过对二阶对数修形系数、对数、底数的变化达到控制修形量的目的。提出的二阶对数齿廓修形方法较传统修形方法的优势是：摆线轮主要参与啮合工作段齿廓更加逼近完全共轭齿廓;二阶对数齿廓修形可使摆线针轮副重合度更大，传动误差曲线对称性更好，使摆线轮传动更加平稳。基于抛物线修形模式下，安小涛等以轮齿接触分析为手段，提出一种综合考虑齿廓误差和传动误差影响的摆线轮齿廓逆向主动修形方法。综合分析摆线轮传动精度和齿面接触应力，丁国龙等在传统组合修形的基础上，提出一种基于接触应力均化的摆线轮修形方法。将摆线针轮齿廓传动压力角最小的工作段作为修形量优化的区间，分析所需齿侧间隙，选定合理的转角修形量范围;以转角修形齿廓为目标齿廓，用等距和移距组合修形逼近方法确定相应的修形量，并将其代入摆线轮传动受力方程，得到优化区间内同时啮合各齿之间接触应力分布方差;并以此方差最小为优化目标，在一定范围内，搜索出最佳的转角修形量以及对应的组合修形量。仿真和试验结果表明，相较于传统方法，该方法能够提高传动精度，并显著改善齿面受力状况，延长摆线轮使用寿命。陆龙生等提出了一种基于优化承载能力的摆线轮齿廓的新型等距-移距组合修形方法，使用该方法得到的 RV 减速器在重载情况下噪声和温升均显著降低，承载能力得到了明显提高。考虑弹性变形对摆线轮齿廓的影响，秦争争等建立了考虑弹性变形的摆线轮齿廓修形优化模型，提出了一种补偿弹性变形的摆线轮齿廓修形方法。基于压力角变化规律，通过控制齿根和齿顶的最大压力角和最大修形量，可以控制齿廓曲线修形区间不同位置的修形量。因此，岳朗等提出了一种全新的摆线轮修形方法，在摆线轮的工作齿廓段仍采用标准齿廓，以保证工作齿廓的共轭传动关系;在非工作齿廓段的修形量有线性拟合和多项式拟合两种形式，形成所需要的间隙，推导出该修形方法不同区间的分段齿廓方程。不同压力角所对应的工作区间是不同的，而基于压力角的分段修形方法下的啮合力分布更加均匀。根据计算的摆线轮实际工作范围，在保证偏心距和短幅系数不变的前提下，张丽芳等采用拓扑修形方法将摆线轮齿廓分为工作段和非工作段齿廓。工作段采用转角修形，非工作段采用变等距修形，使修形后工作段为共轭齿廓，齿顶与齿根部分产生合理的间隙，使得摆线轮满足良好的啮合性能要求。
四、摆线齿廓修形齿轮的制造工艺
通过以上分析可知近期出现了很多新的摆线齿廓修形方法，但是要投入实际应用还必须考虑制造的工艺性。因此，部分学者对于摆线修形齿廓的加工方法进行了研究。基于摆线轮展成磨削加工运动原理，李天兴等提出了一种以机床磨削参数为变量的摆线轮齿廓及法线矢量的数学表达，并对机床主要磨削参数与摆线轮齿廓的影响关系进行了分析。该齿廓方程不仅可以为摆线轮齿廓误差检测提供必需的理论测量数据，而且可以根据机床磨削参数对摆线轮齿廓的影响规律，建立磨削加工参数与齿廓误差的映射关系，进一步实现摆线轮磨削参数的反调修正，提高摆线轮的磨削加工精度。在对实际加工齿廓的精确测量，然后对误差数据进行回归优化，王若宇等提出了基于加工误差参数优化的摆线轮修形模型，以精确补偿实际与设计齿廓之间的误差。结果表明：实际加工齿廓较设计齿廓之间的误差值降低了 50%，批量加工的齿廓误差也能保证在 4 μm 以内。实现了对摆线轮齿廓的精确修形，有效地提高了 RV 减速器的整体性能。成型磨削及数控滚轮修整技术具有效率高、精度高、易操作等特点，是今后摆线轮磨削技术的重要发展方向。贡林欢等基于成形磨削技术，提出一种摆线轮分段修形方法。在工作段采用转角修形保证共轭啮合，在非工作段采用样条曲线过渡保证顶隙。该方法满足共轭啮合条件，且修形方式灵活多变。其分段特点也可应用在对齿根有特殊形状要求的场合。从加工成型的角度出发，胡晨辉等由针齿壳参数建立了针齿槽齿廓方程，基于成形磨削理论建立了砂轮与工件坐标系，求解出砂轮轴向廓形方程。探讨了 CBN 砂轮的磨削特性和修整方法，开发的成形砂轮修整流程，可进行针齿壳基本参数的计算及砂轮修整数值仿真，从而得到金刚石滚轮修整轨迹曲线，通过数控机床完成对砂轮的修整，并通过试验证明了砂轮修整理论的正确性。
五、计算机辅助设计在齿廓修形中的应用
计算机和软件技术的飞速发展缩短了产品开发的周期，因此，有学者开发了摆线齿轮等专用的设计程序。张跃明等用 VC++ 6.0 编程验证了正等距和负移距的修形方式可以获得合理的摆线轮齿形，提高了绘制各种型号的摆线轮齿形的效率。同时分析了优化摆线轮齿形的数学模型，选用了两点外插的混合罚函数法，能够更快速更高效地求解出理想的修形值，并用 Pro /E 4.0 对摆线轮进行参数化设计，大大提高了建模效率和设计精度。何卫东等通过分析 RV 减速器的结构特点和工作原理，利用 Pro/E 的二次开发软件包 Pro /TOOLKIT，并以 Microsoft Visual Studio 2005 作为开发工具，开发了一套参数化设计系统，建立了人机交互界面与模型之间的参数传递，实现了交互界面对模型特征再生和保存的控制功能，能够快速生成满足要求的系列化减速器，同时还可以便捷地对减速器多个结构参数进行同步修改，大大提高了工作效率与设计质量并缩短了研发周期，为减速器参数化通用设计平台的实现奠定了基础。
六、结语
由于摆线齿轮传动精度高、抗冲击和承载力大等优点在高精密减速器中得到广泛应用，但是由于同时参与啮合的齿数多，对于齿廓加工和装配精度提出了苛刻的要求。因此，摆线齿廓修形方法一直是研究的热点和难点。本文主要内容是对近期摆线轮齿廓的修形方法加以梳理和总结，首先简要介绍了摆线修形的目的，接着分析了修形齿廓对于传动精度和承载能力的影响，随后介绍了近期国内外学者提出的摆线齿廓修形新方法及其特点，并且介绍了新型摆线齿廓的制造工艺，最后简要介绍了部分学者使用计算程序设计摆线齿廓的应用。
参考文献略.