齿轮传动具有传动效率高、稳定性好、高可靠性等优点，是机械设备中最重要的传动形式之一。常规直齿轮重合度较低，啮合刚度突变程度较大，从而导致较大的振动噪声，严重影响传动系统的综合性能。而细高齿齿轮通过采用大齿高设计来提高重合度及齿面接触线长度，有效降低了啮合刚度及啮合力波动幅值，使得系统振动噪声水平大幅下降，在提高齿轮承载能力的同时减轻了传动装置的体积质量，因此其在重卡变速器、直升机主减速器、军用履带式车辆及汽车电驱桥等领域得到了广泛应用。但齿轮工作环境通常较为复杂，在交变载荷的长期作用下，齿根部位极易产生裂纹，若未及时采取措施，其在系统运行过程中将逐渐扩展，最终导致轮齿的疲劳断裂，影响系统的可靠运行。因此研究细高齿齿轮在裂纹故障下的响应特性对保证传动系统的安全平稳运行具有重要意义。
国内外学者针对裂纹故障齿轮系统开展了大量研究，取得了一定的成果。MA 等对含齿根裂纹直齿轮副的啮合刚度进行研究，在传统势能法的基础上计入齿廓修形、齿间耦合等影响因素。在此基础上，HUANGFU 等考虑实际工况下裂纹沿齿宽及齿高方向的扩展形式，对含裂纹故障斜齿轮副的啮合刚度计算模型进行修正。YANG 等研究了裂纹张开状态对啮合刚度及振动响应的影响，结果显示在较大裂纹深度下，相比传统计算模型其求解精度显著提高。MENG、花志锋等计入齿面摩擦的影响，利用集中质量模型对裂纹故障下系统的动态响应进行研究。QIAO 等在考虑真实裂纹扩展路径的基础上计入传动轴柔性，分析了裂纹故障对齿轮系统振动响应的影响。LIU 等在简化裂纹扩展模型的基础上，引入新的故障程度评价指标，在建模过程中进一步考虑到箱体柔性对测点处振动响应的影响。DUAN 等将集中质量法、子结构法及有限元法相结合，建立了含齿根裂纹故障的行星齿轮系统刚柔耦合动力学模型，讨论了齿圈厚度及边界条件对系统动态响应的影响。以上研究均假设裂纹从齿根部位开始扩展，YANG 等采用势能法对齿面裂纹故障下的时变啮合刚度进行求解，分析了常用统计指标对故障演化的敏感程度。在上述单一故障研究的基础上，CAO 等提出一种齿面磨损与齿根裂纹复合故障演化分析模型，采用集中质量法对复合故障模式下传动系统的动态响应进行求解。以上研究对裂纹故障齿轮系统的刚度激励及振动响应特性进行分析，且研究对象多为常规直齿轮。与常规直齿轮相比，细高齿齿轮重合度较大，在裂纹故障下其振动信号故障特征较为微弱。针对振动信号的不足，ZHANG 等提出采用齿根动应变作为故障特征载体信号，实现了基于内齿圈齿根应变的行星齿轮箱故障诊断。与振动信号相比，齿根应变与啮合状态之间具有更加直观、明确的对应关系，理论上能更好地反映系统运行状态。因此，研究裂纹故障下细高齿齿轮的齿根动应变，对细高齿齿轮系统的故障诊断具有重要意义。
本文建立了含裂纹故障的细高齿齿轮传动系统动力学模型，结合轮齿承载接触分析及有限元瞬态分析得到裂纹故障下细高齿齿轮的齿根动应变，分析裂纹深度对细高齿齿轮齿间载荷分配及齿根动应变的影响。
一、裂纹故障细高齿齿轮系统动力学模型
系统动力学模型
本文以一对外啮合细高齿齿轮副为研究对象，其参数如表 1 所示。当齿轮副输入转速远小于共振转速，且负载转矩较大时，齿侧间隙及误差对齿根动应变计算结果的影响较小，同时齿面摩擦对齿根应变的变化趋势及数值的影响均较小。因此忽略上述各因素的影响，采用集中质量法建立系统动力学模型如图 1 所示，其中 y 为啮合线方向，P 为主动轮，G 为从动轮。
模型具有 4 个自由度，分别为主、从动轮转动自由度 θp 、θg 及沿啮合线方向的平移自由度 yp 、yg。以各弹簧受压方向为正方向，则齿轮副动态啮合力可表示为：
式中：Fk 为弹性啮合力，Fc 为粘性啮合力，Fpg为齿轮副动态啮合力，Rp、Rg 分别为主、从动轮基圆半径，km 为齿轮副时变啮合刚度，cm 为齿轮副啮合阻尼系数。
由 D′Alembert 原理可得系统动力学方程为：
式中：mp 、mg 为主、从动轮质量，Ip 、Ig 为主、从动轮转动惯量，kpy、kgy分别为主从动轮支撑刚度，cpy、cgy分别为主从动轮支撑阻尼。
裂纹故障齿轮副时变啮合刚度
在从动轮齿根部位引入裂纹故障，采用三维建模软件构建故障轮齿模型如图 2a 所示，其中 y 轴为轮齿对称轴方向，z 轴为齿宽方向。为研究裂纹深度对齿根动应变的影响，假设裂纹从齿根过渡圆角处沿直线方向进行扩展，且裂纹为影响到整个齿宽方向的贯通型裂纹，其中 q 为裂纹深度，分别取为 0.5、1、1.5 mm;d 为齿宽;v 为裂纹角度，其定义为裂纹扩展方向与轮齿对称轴方向间的夹角，取为定值 45°。为准确求取裂纹故障下轮齿在载荷作用下的变形量，将轮齿从啮入到啮出的整个过程划分为若干个啮合位置，并假定齿轮材料满足线弹性假设，采用有限元分析软件对各啮合位置建立分析模型如图 2b 所示。
将从动轮内圈固定，在主动轮内圈施加转矩 T 并约束各节点横向自由度，定义啮合齿面间的接触，求解得到各啮合位置处的主动轮转角变形量 θ，则齿轮副沿啮合线方向的变形量为：
式中：rb 为主动轮基圆半径。
该啮合位置的啮合刚度为：
由式(5)求得不同裂纹深度下的齿轮副时变啮合刚度如图 3 所示。可以看出轮齿产生裂纹后齿根变软，柔性增大，沿啮合线方向的变形量增加，啮合刚度减小，且随着裂纹的加深，啮合刚度降幅进一步增大。
裂纹故障齿轮系统动态啮合力
将图 3 所示时变啮合刚度代入系统动力学模型，采用 Newmark⁃β 法求解式(3)得到输入转速为 600 r/ min，输入转矩为 100 N·m 工况下含裂纹故障齿轮副的动态啮合力。其中 1.5 mm 裂纹深度下的啮合力时域历程及频谱如图 4 所示。可以看到从动轮发生裂纹故障后，啮合力时域历程出现周期为 Tn2 = 1/fn2 的冲击成分，啮合力均值为 2 770.7 N，与静载荷一致。在频域中，齿轮副啮合频率及其倍频附近出现边频带，其间隔为从动轮转频 fn2。
二、裂纹故障下细高齿齿轮齿根动应变计算
将啮合齿面沿齿廓方向离散为 n 条接触线，利用有限元分析软件建立裂纹故障齿轮结构动力学分析模型如图 5a 所示，其中参数 n 可根据计算精度要求确定。分析模型矩阵形式为：
式中：M 为齿轮结构质量矩阵，C 为齿轮结构阻尼矩阵，采用比例阻尼;K 为齿轮结构刚度矩阵，x(t)为节点位移列向量，F(t)为时变载荷列向量。
为便于后续分析，按图 5b 所示方式对各轮齿进行编号，其中从动轮轮齿 3 为故障齿，轮齿 2 及轮齿 4 为其相邻轮齿，轮齿 1 及轮齿 5 为其间隔轮齿。将主动轮中与从动轮故障齿相啮合的轮齿记为轮齿 3，其余轮齿编号规则与从动轮一致。
将图 4a 中的时域动态啮合力进行离散，代入每一子步载荷后利用轮齿承载接触分析方法得到齿间载荷分配关系。将离散后的每一子步载荷按轮齿载荷分配率分别施加到参与啮合轮齿的各条接触线上，从而模拟齿轮啮合过程，最终利用有限元分析软件中的瞬态分析模块求解得到齿轮结构在时变啮合力作用下的动态响应。其中轮齿载荷分配率的表达式为：
式中：Fij为 ti 时刻轮齿 j 所受载荷，Kij为 ti 时刻第 j 对啮合轮齿的刚度，Ki 为 ti 时刻齿轮副啮合刚度，ηij为 ti 时刻轮齿 j 的载荷分配率。
三、裂纹故障下细高齿齿轮齿根动应变分析
裂纹故障齿轮副轮齿载荷分配率
采用轮齿承载接触分析方法得到裂纹故障下图 5b 中主动轮各轮齿在 100 N·m 输入转矩及 600 r/ min 输入转速下的载荷分配率 ηij随主动轮转角的变化关系如图 6 所示，其中 a、c、e 为三齿啮合区，b、d 为双齿啮合区。可以看出从动轮发生裂纹故障后，故障齿刚度下降，其载荷分配率有所降低，如图 6c 所示。当故障齿参与啮合时，其相邻轮齿的载荷分配率在三齿及双齿啮合区内均受到影响，而其间隔轮齿的载荷分配率仅在三齿啮合区内发生变化，且三齿啮合区载荷分配率变幅总体上小于双齿啮合区。同一啮合位置下，随着裂纹深度的增加，各轮齿载荷分配率变幅逐渐增大。由作用力及反作用力间的关系可知，从动轮各轮齿的载荷分配率与主动轮对应轮齿相同。
裂纹故障下从动轮齿根动应变分析
由前述动应变计算方法求解得到 1.5 mm 裂纹深度下图 5b 中从动轮轮齿 2 在 100 N·m 输入转矩及 600 r/ min 输入转速下的齿根应变时域历程如图 7 所示。可以看到齿根应变呈周期性变化，无冲击成分。
提取图 5b 中从动轮除故障齿外轮齿啮合区齿根动应变如图 8 所示，其中区域 a、c、e 为三齿啮合区，区域 b 和 d 为双齿啮合区。可以看出发生裂纹故障后，在啮合力冲击及载荷分配率变化的共同作用下，各轮齿所受载荷在部分啮合区间内较无故障齿轮副有所增加，导致齿根应变在相应区间内有所增大，且各轮齿齿根动应变与图 6 中载荷分配率的变化形式相似。其中从动轮轮齿 1 及轮齿 5 的齿根应变仅在区域 a 或 e 中略大于无故障齿轮副，而轮齿 2 和轮齿 4 的齿根应变在区域 b 或 d 内相比无故障齿轮副明显增大，且在同一啮合位置下，齿根应变增幅随裂纹深度的增加呈上升趋势。
裂纹故障下主动轮齿根动应变分析
当故障齿与主动轮轮齿 3 相啮合时，提取图 5b 中主动轮轮齿 1 至轮齿 5 啮合区齿根动应变如图 9 所示。可以看出随着啮合过程的进行，作用于从动轮故障齿上的载荷有所降低，使得在整个啮合区内，主动轮轮齿 3 的齿根应变与无故障条件下相比呈降低趋势，但在啮合力冲击的作用下其降幅较小。除轮齿 3 外，其余轮齿齿根应变的变化趋势与从动轮对应轮齿相似。当主动轮轮齿处于第二个三齿或双齿啮合区间时，其载荷作用点接近齿顶，力臂较大，在相同载荷增量作用下其齿根应变增幅较大，因此主动轮轮齿 4 及轮齿 5 的齿根应变增幅略大于从动轮相应轮齿。类似地，轮齿 1 及轮齿 2 的齿根应变增幅略小于从动轮对应轮齿。
由于从动轮发生裂纹故障后主动轮各轮齿齿根应变时域历程基本一致，此处以图 5b 中主动轮轮齿 3 为例，分别提取 1.0 mm 及 1.5 mm 裂纹深度下该轮齿齿根应变时域历程如图 10 所示。可以看到当从动轮故障齿分别与图 5b 中主动轮轮齿 4 及轮齿 3 相啮合时，由图 9 可知此时主动轮轮齿 3 齿根应变峰值将出现不同程度的增大或减小，导致齿根应变出现周期性冲击及幅值衰减，且随着裂纹深度的增加，上述现象愈明显。其中周期 T 表达式为：
式中：z1 为主动轮齿数，z2 为从动轮齿数，n1 为主动轮转速，LCM(z1 ，z2 )为 z1 与 z2 的最小公倍数。
裂纹故障下齿根应变信号统计指标分析
由于从动轮齿根动应变故障特征主要表现为啮合区内齿根应变数值的变化，采用故障条件下啮合区齿根应变均方根值较无故障条件下的相对变化量来评价裂纹对图 5b 中从动轮各轮齿啮合区齿根动应变的影响。齿根动应变均方根值表达式为：
其相对变化量为：
式中：Xi 为 ti 时刻对应齿根动应变，N 为采样点数，Xrc 为裂纹故障下齿根动应变均方根值，Xrh为无故障条件下齿根动应变均方根值。
最终计算结果如图 11 所示。可以看到在啮合区内，齿根动应变均方根值随裂纹深度的增加呈上升趋势，且与故障齿相邻轮齿的均方根值增幅明显大于其间隔轮齿。当裂纹深度为 1.5 mm 时，从动轮啮合区齿根应变均方根值相对变化量最高达到 5.34% 。
由于从动轮出现裂纹故障后，主动轮齿根应变时域历程中将出现周期性冲击成分，采用对冲击较为敏感的峰值因子指标来评价裂纹对上述冲击特征的影响。齿根动应变峰值因子表达式为：
其相对变化量为：
式中：Xp 为齿根动应变峰峰值，Cp 为齿根动应变峰值因子，Cpc为裂纹故障下齿根动应变峰值因子，Cph为无故障条件下齿根动应变峰值因子。
最终计算结果如图 12 所示。可以看到随着裂纹深度的增加，齿根应变峰值因子呈上升趋势。在 1.5 mm 裂纹深度下，主动轮齿根应变峰值因子相对变化量达到 12.72% 。从以上结果中可以看出与从动轮啮合区齿根动应变均方根值相比，主动轮齿根动应变峰值因子指标对齿根裂纹故障表现出更强的敏感性。
四、结论
本文采用动力学分析、轮齿承载接触分析与有限元瞬态分析相结合的方式计算了从动轮齿根裂纹故障下细高齿齿轮的齿根动应变，分析了裂纹深度对齿根动应变的影响，主要结论为：
(1)随着啮合过程的进行，从动轮故障齿载荷分配率逐渐减小，其相邻轮齿齿根应变在三齿及双齿啮合区内均有所增加，其间隔轮齿齿根应变仅在三齿啮合区内有所增大。
(2)主动轮齿根动应变故障特征主要表现为齿根应变时域历程中出现周期性冲击及幅值衰减现象，且裂纹深度越大，上述特征愈明显。
(3)随着裂纹深度的增加，从动轮故障齿的相邻及间隔轮齿啮合区齿根动应变均方根值及主动轮齿根动应变峰值因子均呈上升趋势，且主动轮齿根动应变峰值因子指标对齿根裂纹故障表现出更强的敏感性;在 1.5 mm 裂纹深度下，主动轮齿根应变峰值因子相对变化量达到 12.72% 。
参考文献略.