采用通用五轴加工中心的齿轮多轴铣削加工，由于其具有高度柔性化，广泛应用于新型齿轮的快速原型制造、大型齿轮个性化加工以及齿轮修复等领域。
目前，关于齿轮多轴铣削主要集中于刀具路径规划，郭二廓等提出一种渐开线圆柱齿轮立铣刀包络铣削加工方法，建立刀具路径规划与齿面精度特性匹配关系;GUO 等推导出立铣刀侧铣加工齿轮的齿廓误差模型，研究了刀具进给策略、齿轮几何参数对齿廓误差的影响;SHI 等在圆柱齿轮铣削中提出了粗糙 度约束的刀具路径规划方法。ALVAREZ 等采用不同的加工策略完成螺旋锥齿轮铣削加工，通过误差分析实现刀具路径优化;上述刀具路径规划研究从几何学角度论证齿廓表面精度与加工参数之间的约束关系。然而在实际加工中，加工参数确定还受到切削力这一物理表征的影响，不当的加工参数的选择，往往导致铣削力急剧增加，加速刀具磨损，无法获得满意的齿轮表面精度和尺寸精度。因此，实现齿轮铣削过程的切削力精准预测是齿轮铣削参数确定与优化的基础。
切削力的计算要求精确表征切触区域。目前关于切触区域计算主要分为实体法、离散法和解析法 3 种。实体法是通过刀具与工件实体模型之间布尔运算确定出切触区域。YANG 等在 NX 软件中，利用刀具回转面的可能切触面修剪刀具扫掠体得到切触区域;BOZ 等利用 Parasolid 实体建模引擎，通过修剪刀具扫掠体与工件之间的相交面获取切触区域;植俊杰等基于 NX 二次开发技术，从更新实体几何模型中提取出切触区域。离散法主要是通过判断离散化的刀具和工件是否相交确定出切触区域;董永亨等基于改进的 Z⁃MAP 法识别了球头铣刀加工时瞬时切触状态;WEI 等对 Z⁃MAP 方法进行了改进，将逻辑数组的标识功能引入，提高了刀具接触区的计算效率;QIN 等借鉴多轴铣削切触区域的解析模型，引入了改进的 Z⁃MAP 方法，该方法在切触区域计算过程中仅需要更新刀具的离散模型，获得较高计算精度的同时减少计算时间。解析法采用空间曲线表示切触区域，进而通过降维方法进行求解。魏兆成等在多轴铣削加工中分别将切触区域简化边界曲线的求解问题，进而提出了基于半解析建模的切触区域计算方法。
铣刀的每一次齿廓包络铣削可视为三轴铣削加工，同时变刀具进给方向的复杂曲面铣削比较，其刀具路径数量相对较少。上述切触区域 3 种计算方法中，实体法具有较高的计算精度，适用于三轴加工，计算效率能够满足仿真需要。离散法具有较高的计算效率，但工件和刀具的离散化处理往往导致较低的计算精度，很难平衡计算效率和计算精度之间的矛盾。解析法在满足一定计算精度的要求下，具有较高的计算效率，然而对于直齿轮铣削过程，其在表示工件表面的渐开面与表示刀具扫掠面的球面的求交计算上，计算过程复杂繁冗，且针对不同工况下的适应度较差。因此，针对圆柱直齿轮铣削，采用实体法提取切触区域，在满足仿真计算效率的基础上，能够获得较高的计算精度，同时规避离散法精度缺陷，以及解析法中渐开面与球面的复杂求交问题。
综上所述，本文以直齿轮为对象，基于实体建模的方法实现其铣削过程刀具与工件切触区域的仿真分析。首先，在齿轮铣削运动模型以及代加工齿廓数学模型描述的基础上，基于等残余高度法，规划齿轮铣削刀具路径;其次，构建刀具扫掠体，通过扫掠体与齿轮工件几何模型布尔运算实现工件几何模型的更新;在更新齿丕几何实体模型上识别出齿轮铣削切触区域，进而确定出切入角和切出角;最后，通过实际加工后的切触区域结果与仿真结果对比验证该方法的有效性和准确性。
一、齿轮铣削过程数学模型
坐标系定义
为便于准确描述齿轮铣削过程中的刀具与工件的相对位置关系，建立如图 1 所示的坐标系。直齿轮铣削过程中，所有轮齿具有相同铣削加工策略;在单个轮齿的铣削过程中，铣刀在齿高方向上以空切的方式移动刀具，再以齿宽方向即沿齿轮轴向进给完成材料铣削去除，重复齿高方向移刀和齿宽方向切削直至加工出整个齿面。坐标系统中定义的坐标系为：
oW ⁃xW yW zW (简称{ SW ｝)为工件坐标系，是描述工件几何模型和刀具运动的基准坐标系，与齿轮固定连接，其原点 oW 位于齿轮上端面的回转中心，坐标轴 oW yW 与 0 号刀齿齿廓中心线重合，坐标轴 oW zW 与齿轮轴线重合。
oF ⁃xF yF zF(简称{SF ｝)为描述刀具进给运动的进给坐标系，原点 oF 位于球头铣刀球心，其在{ SW ｝下的位置即为刀位点 CLk，i(下标 k、i 表示刀具路径 k 上第 i 个刀位点);坐标轴 oF zF 方向为理想渐开面的法向 nk，由渐开线面几何特性可知，刀具沿路径 k 直线进给中，任一刀位点 CLk，i 处 oF zF 具有相同法向 nk;oF zF 与 oW zW 之间的夹角为 βk，是描述{SF｝和{SW｝之间关系的坐标变换角度;坐标轴 oF xF 平行于齿轮轴线，与坐标轴 oWzW 方向一致，即平行于刀具进给方向，{SF｝符合右手定则。
oT ⁃xT yT zT (简称{ST ｝)为刀具坐标系，原点 oT 固定于刀具球心处，与 oF 重合;坐标轴 oT zT 重合于刀具轴线，且使刀具远离工件表面方向为正;{ ST ｝ 可以表示为{SF｝围绕其自身轴线 oF xF 旋转(逆时针为正，顺时针为负)所构造的坐标系，旋转角度 λk 为 oF zF 和 oT xT 之间的夹角，即为所定义的刀具偏角;由{ ST｝ 和{ SF｝定义可知，坐标平面 yF zF 平行于坐标平面 yT zT ，同时也平行于直齿轮端面，即定义多轴加工的刀具倾角为 0。
变换矩阵
描述切触区域的切入角和切出角是在刀具坐标系{ST｝下，然而其计算过程需要在工件坐标系{ SW｝ 实现，因此需要描述二者之间的变换关系。
{ST｝相对于{SF｝的其次坐标变换矩阵为：
式中：xWCLk，i 、yWCLk，i 、zWCLk，i为刀位点 CLk，i在{SW｝下的坐标，三者与初始刀位点 CLk，0的坐标之间的关系为：
式中：Lk，i为刀具在刀位点 CLk，i 处相对于初始刀位点 CLk，0的走刀长度。
{ST｝相对于{SW｝的其次坐标变换矩阵为：
待加工齿廓数学模型
切触区域计算需要精确描述代加工工件模型;对于直齿轮，代加工工件的表面为渐开面等距面，其可以表示为代加工齿廓沿轴线拉 伸所形成的几何体。齿轮铣削精加工完成齿廓渐开线的最终包络，其前一道工序半精加工之后的待加工齿廓为包含加工余量的渐开线等距线。图 2 为直齿轮端面齿廓示意图。渐开线齿廓 A′B′上任意一点 P′的坐标为：
式中：rb 为基圆半径，α 为压力角，ΩS 为 1/2 基圆齿厚对应的圆心角，ΩS = π/ 2z + θn ，θn 为展角，θn = tan(αn)-αn，αn 为分度圆压力角，z 为齿数。
渐开线 A′B′上任意一点 P′的法相矢量为：
根据式(5)和式(6)，则待加工齿廓上任意一点 P 方程为：
式中：T 为半精加工余量。
二、刀具路径规划
切触区域的计算需要精确描述刀具在工件坐标系下的位置即刀位点;由式(7)可知，在设定走刀长度和初始刀位点 zWCLk，0坐标之后，刀位点 CLk，i的计算主要取决的刀位点 CLk，0的 xWCLk，0、yWCLk，0两个坐标，因此直齿轮铣削刀具路径规划主要指齿高方向的路径规划。
齿轮铣削刀具路径规划主要有两种方式：一是采用自由曲面包络法，该方法将齿轮渐开面拟合成自由曲面，采用 CAM 软件曲面自由铣削功能自动实现刀具路径规划;二是渐开线包络法，将渐开线视为球头铣刀在刀位点处所形成的包络线;相对于自由曲面包络法，渐开线包络法将齿廓的几何特性、精度要求和刀具参数进行统一表示，不仅建立三者之间的直接联系，也避免自由曲面构造所产生的精度损失，具有较高的计算精度和刀具路径规划效率;基于此，本文采用基于等残留高度的渐开线包络法规划刀具路径，计算出刀位点。
将初始刀位点投影于{SW｝的坐标平面 yW zW ，建立如图 3 所示的端面齿廓齿高方向刀位点计算示意图，CCk，0 、CLk，0分别为刀具路径 k 处的初始刀触点和初始刀位点;ε1 为理论渐开线齿廓曲线，是不同刀位点CLk，0处半径为 R 刀具圆弧形成的包络线;ε2 为残留高度 h 残留点所在曲线，ε3 为刀位点 CLk，0 所在曲线，曲线 ε2 、ε3 均为渐开线等距曲线。
由图 3 可知，Gk，0 为残留高度点，是曲线 ε2 和刀位点 CLk，0处刀具圆弧交点，Gk，0点可通过式(8)求取。
刀位点 CLk + 1，0 与 Gk，0 之间的距离为R，同时 CLk+1，0点位于曲线 ε3 上，根据这一几何关系，CLk+1，0 点可通过式(9)求取。
联立式(8)和式(9)，在已知初始刀位点 CLk，0下，可以通过迭代方法求取出所有刀位点，完成齿高方向刀具路径规划。
三、实体法切触区域仿真计算流程
如图 4 所示，直齿轮铣削过程中，刀具采用沿齿宽方向直线进给，在刀具路径 k 上各刀位点处的切触区域完全相同;突出重点，本文仅研究正常切削阶段切触区域计算，忽略刀触点位于齿顶圆处非正常切削的首条刀具路径切触区域计算。便于仿真结果与加工试验结果对比以及减少仿真计算时间，以单个齿为铣削对象，设置刀具路径 k 初始刀位点 CLk，0 为切削开始点，刀位点 CLk，i为切削停止点，并以该停止点作为刀具路径 k 的切触区域提取刀位点。
实体法切触区域提取过程为：
步骤 1：产生刀位点。根据输入刀具参数、工件参数以及切削参数，结合渐开线齿廓数学模型、等残留高度法进行刀具路径规划，计算出刀位点;
步骤 2：生成刀具扫掠体。如图 5 所示，建立刀位点 CLk，0和刀位点 CLk，i刀具扫掠轮廓线，构造出刀具扫掠面 FSwept、刀位点 CLk，0 处刀具回转面的切入部分 FIngress、刀位点 CLk，i处刀具回转面的切出部分 FEgress，将上述 3 个面通过缝合方法建立刀具扫掠体;
步骤 3：切削过程工件更新。如图 6 所示，通过待加工齿廓数学模型构造工件几何实体模型，将生成的刀具扫掠体和切削过程工件进行布尔求差，得到更新后的切削过程工件;
步骤 4：切触区域识别。如图 6 和图 7 所示，刀具扫掠体与切削过程工件相交，将会在更新的过程工件中产生一些列接触面;切触区域位于接触面内，同时切触区域也是部分刀具回转面;当采用球头铣刀进行精加工时，仅有球头部分进行切削，因此切触区域为球面的一部分;根据这一特点，从更新后的切削过程工件中，圆心位于刀位点处 CLk，i具有球面几何特性的面即为切触区域;
步骤 5：切触角计算。如图 8 所示，在刀具坐标系下，利用平行于刀具轴线的一组平面和代表刀具接触区域的球面进行求交，得到所有相交的圆弧，通过圆弧端点计算出刀具切入角和切出角;
步骤 6：判断是否完成所有刀具路径切触区域提取，如未完成，继续下一刀具路径切触区域提取，直至遍历完所有刀具路径。
在以上步骤中，涉及到实体模型布尔运算的步骤 2 ～ 步骤 4 是在{SW｝中完成的，步骤 5 是在{ST｝中完成的。
如图 9 所示，同一刀位点，当其余切削参数恒定不变的情况下，仅改变刀具偏角，形成的 T1 和 T2 两种不同刀具姿态下的切触区域具有相同的几何特征;在已知刀具姿态 T1 的切触区域时，可通过刀具姿态 T2 的所在的刀具坐标系下利用曲面分割计算新的切触角度区间，减少重复计算所导致的时间消耗。
四、仿真实例与试验验证
为验证实体法在齿轮铣削过程切触区域提取方法的有效性，本节对切削仿真实例和切削试验进行描述。
试验加工与测量装置
如图 10a 所示，齿轮铣削加工采用五轴加工中心德玛吉 DMU50，B 轴固定，C 轴回转实现工件的分度和刀具偏角的设定，X 轴直线进给实现刀具沿齿轮轴向的切削运动，Y 轴和 Z 轴的直线进给实现刀具在齿槽中的定位。
工件材料为 45 号钢，齿轮模数 mn = 6 mm，齿数 z = 20，分度圆压力角 αn = 20°，齿顶高系数 h∗a = 1，顶隙系数 c∗= 0.25。
刀具采用整体式硬质合金球头铣刀，其半径 R = 3 mm，齿数为 2，螺旋角为 15°，主轴转速为 3000 r/ min， 每齿进给量为 0.05 mm/r，刀具偏角 λk = 60°，齿廓残留高度 h = 0.03 mm，齿廓半精加工余量 T = 0.3 mm。
切触区域边界曲线测量采用图10b 所示的19JPC⁃V 数显万能工具显微镜，测量平面坐标系 oC ⁃xC yC 与测量工作台面平行，也平行于{SW｝的坐标平面 yW zW;测量时，将单齿工件放置于角度规上，测量基准点位于各个切触区域 P2点。图 11 为加工后工件表面，具有清晰的刀具和工件切触区域边界痕迹。
试验加工结果与仿真分析结果对比
图 11 中刀具路径 2 和 4 的测量结果与仿真计算结果的对比如图 12 所示，曲线 P1P2 和曲线 P2P3 的实际测量结果与仿真计算结果基本一致;曲线 P1P3 在实际工件表面中，由于工件的滑移变形，该边界曲线比较模糊，难以辨识，而实际测量结果可以看出，P1 点和 P3 点及其相邻点的测量结果与仿真结果相一致，同时相邻测量点趋近于代表刀具痕迹的直线，间接说明曲线 P1P3 实际测量结果与仿真计算结果具有一定的吻合度。切触区域边界曲线的微小误差是由测量误差和工件表面塑性变形的影响所导致的。若排除测量误差和工件表面变形的影响，试验结果与仿真结果基本一致，从而证实了本文所提出切触区域仿真分析方法的准确性。
图 13 所示分别为刀具路径 2 和 4 通过仿真计算出的切入角和切出角。
五、结论
本文基于实体建模技术，提出了一种圆柱直齿轮的多轴铣削精加工球头铣刀与工件瞬时切触区域提取的仿真分析方法，通过试验对该方法的有效性和准确性进行了验证，具体的研究成果为：
(1)在直齿轮铣削运动模型和齿廓数学模型描述的基础上，构造了基于等残留高度法的刀具路径规划方法;
(2)基于实体仿真方法，通过刀具扫掠体与工件之间的布尔运算，实现直齿轮铣削过程材料去除;从更新后的切削过程工件中，准确识别出切触区域。
(3)切触区域试验测量结果与仿真结果相一致，验证了本文所提出的基于实体模型的直齿轮铣削过程切触区域提取方法的有效性和准确性。
参考文献略.